Решение кубического уравнения в гиа?

Замечание к задаче

$% x = 2 \rightarrow (x^3 - 7x^2 - 4x + 32 = 0 \leftrightarrow 2^3 - 7 \times 2^2 - 4 \times 2 + 32 = 0) $%

$% \Leftrightarrow x = 2 \rightarrow (x^3 - 7x^2 - 4x + 32 = 0 \leftrightarrow 4 = 0) $%

$% \Leftrightarrow x = 2 \rightarrow (x^3 - 7x^2 - 4x + 32 \neq 0 \leftrightarrow 4 \neq 0) $%

$% \Leftrightarrow x = 2 \rightarrow (x^3 - 7x^2 - 4x + 32 \neq 0 \leftrightarrow True) $%

$% \Leftrightarrow x = 2 \rightarrow x^3 - 7x^2 - 4x + 32 \neq 0 $%

По моему мнению, одним из корней обсуждаемого уравнения точнее считать число 2 + 1/5. Поясняю:

$% x = \frac{11}{5} \rightarrow (x^3 - 7x^2 - 4x + 32 = 0 \leftrightarrow (\frac{11}{5})^3 - 7 \times (\frac{11}{5})^2 - 4 \times \frac{11}{5} + 32 = 0) $%

$% \Leftrightarrow x = \frac{11}{5} \rightarrow (Equation[x] \leftrightarrow - \frac{4}{125} = 0) $%

$% \Leftrightarrow x = \frac{11}{5} \rightarrow (Equation[x] \leftrightarrow -0,032 = 0) $%

Указанное число (11/5) можно найти с помощью следующих рассуждений

$% x = 2 + \varepsilon \rightarrow (x^3 - 7x^2 - 4x + 32 = 0 \leftrightarrow (2 + \varepsilon)^3 - 7(2 + \varepsilon)^2 - 4(2 + \varepsilon) + 32 = 0) $%

$% \Rightarrow x = 2 + \varepsilon \rightarrow (E[x] \rightarrow (2 + \varepsilon)^3 - 7(2 + \varepsilon)^2 - 4(2 + \varepsilon) + 32 = 0) $%

$% \Leftrightarrow x = 2 + \varepsilon \wedge E[x] \rightarrow (2^3 + 3 \times 2^2 \varepsilon + o_1 (\varepsilon)) - 7(2^2 + 2 \times 2^1 \varepsilon + o_2 (\varepsilon)) - 4(2 + \varepsilon) + 32 = 0 $%

$% \Leftrightarrow x = 2 + \varepsilon \wedge E[x] \rightarrow -20 \varepsilon + 4 = 7 o_2 (\varepsilon) - o_1 (\varepsilon) $%

$% \Rightarrow x = 2 + \varepsilon \wedge E[x] \wedge 7 o_2 (\varepsilon) - o_1 (\varepsilon) = 0 \rightarrow -20 \varepsilon + 4 = 7 o_2 (\varepsilon) - o_1 (\varepsilon) \wedge 7 o_2 (\varepsilon) - o_1 (\varepsilon) = 0 $%

$% \Rightarrow x = 2 + \varepsilon \wedge E[x] \wedge 7 o_2 (\varepsilon) - o_1 (\varepsilon) = 0 \rightarrow -20 \varepsilon + 4 = 0 $%

$% \Leftrightarrow x = 2 + \varepsilon \wedge E[x] \wedge 7 o_2 (\varepsilon) - o_1 (\varepsilon) = 0 \rightarrow x = 2 + \varepsilon \wedge \varepsilon = \frac{1}{5} $%

$% \Rightarrow x = 2 + \varepsilon \wedge E[x] \wedge 7 o_2 (\varepsilon) - o_1 (\varepsilon) = 0 \rightarrow x = 2 + \frac{1}{5} $%

$% \Leftrightarrow x = 2 + \varepsilon \wedge x^3 - 7x^2 - 4x + 32 = 0 \wedge 7 o_2 (\varepsilon) - o_1 (\varepsilon) = 0 \rightarrow x = \frac{11}{5} = 2,2 $%

Повторяя предыдущие рассуждения, находим

$% x = \frac{11}{5} + \varepsilon \rightarrow (E[x] \leftrightarrow (\frac{11}{5} + \varepsilon)^3 - 7(\frac{11}{5} + \varepsilon)^2 - 4(\frac{11}{5} + \varepsilon) + 32 = 0) $%

$% \Rightarrow x = \frac{11}{5} + \varepsilon \wedge E[x] \wedge 7 o_2 (\varepsilon) - o_1 (\varepsilon) = 0 \rightarrow x = \frac{5573}{2535} = 2,198... $%

В общем случае находим

$% x_j = x_{j-1} + \varepsilon \rightarrow (E[x_j] \leftrightarrow (x_{j-1} + \varepsilon)^3 - 7(x_{j-1} + \varepsilon)^2 - 4(x_{j-1} + \varepsilon) + 32 = 0) $%

$% \Rightarrow x_j = x_{j-1}+\varepsilon \wedge E[x_j] \wedge 7 o_2 (\varepsilon)-o_1 (\varepsilon) = 0 \rightarrow x_j = (32 + 7x_{j-1}^2 - 2x_{j-1}^3) : (4 + 14x_{j-1} - 3x_{j-1}^2) $%

Предполагаю, что ответ можно записать в виде

$% x \in \mathbb{R} \Rightarrow x^3 - 7x^2 - 4x + 32 = 0 \leftrightarrow x_0 \in \{-2, 2, 7\} \wedge \forall i (i \in \mathbb{N} \rightarrow x_i = \frac{32 + 7x_{i-1}^2 - 2x_{i-1}^3}{4 + 14x_{i-1} - 3x_{i-1}^2}) $%

Если в школьных задачах дают кубическое уравнение, то у него обычно (хотя и не всегда) "простые" корни. Так что стоит проверить (подстановкой) числа 1, -1, 2, -2. Это подскажет, как дальше искать корни. Например, $%P(x)=x^3-3x^2+x+2=0$% имеет корень x = 2. Значит, P(x) делится на (x - 2). Как найти это частное? Студентам я бы посоветовала просто поделить (столбиком) P(x) на (x - 2). Еще хороша схема Горнера.
Но можно обойтись и "домашними средствами". Т.е. так скомпоновать члены многочлена, чтобы выражение (x - 2) из них выносилось. Скажем, так: $%x^3-3x^2+x+2=x^3-2x^2-x^2+x+2=x^2(x-2)-(x^2-x-2)=$% $%=x^2(x-2)-(x-2)(x+1)=(x-2)(x^2-x-1)$%. Знание одного из сомножителей упрощает эту задачу.
Теперь надо только решить уравнение $%x^2-x-1=0$%.

Не всегда "школьное" кубическое уравнение имеет "простые" корни. Например, уравнение $%7x^3+x^2-14x-2=0 $% легко решается разложением на множители, но его корни {$%-1/7; \sqrt 2;-\sqrt 2 $%} - не очень "простые". Все-таки самый универсальный "школьный" способ - разложение на множители.

Полезно еще пользоваться тем фактом, что произведение всех корней и коэффициента при $%x^3 $% равно свободному члену с противоположным знаком. Например, в исходном уравнении свободный член 32, коэффициент при $%x^3 $% равен 1, а произведение предполагаемых корней -28. Значит что-то из этого не верно!

решай с помощью схемы Горнера