Найти все а, при которых область значений функции включает в себя отрезок [1;2].

y=(sin x + 2 (1-a))/(a-(cos x)^2).

(меня несколько смутил ответ, приведённый автором : [1/3;3/4) и (3/4;32/33]; мой ответ: [1/3;3/4). Я проверяла графически вторую часть приведённого автором ответа, в итоге она оказалась верной, но вот откуда взялась - это вопрос)

задан 13 Май '14 23:36

изменен 13 Май '14 23:49

10|600 символов нужно символов осталось
2

Найти все а, при которых область значений функции включает в себя отрезок [1;2] $$y = \frac{{\sin (x) + 2(1 - a)}}{{a - {{\cos }^2}(x)}}$$ Решение: Сделаем замены: $$\sin (x) = t;\,\,\,t \in [ - 1;1];\,\,\,b = 1 - a$$ Уравнение примет вид: $$y = \frac{{t + 2b}}{{{t^2} - b}}$$ Далее потребуем чтобы выполнялись одновременно следующие условия:

$$\begin{cases}\frac{{t + 2b}}{{{t^2} - b}} = 1\\\frac{{t + 2b}}{{{t^2} - b}} = 2\\{t^2} \ne b\\t \in [ - 1;1]\end{cases} $$

Рассмотрим уравнение $${(t - \frac{1}{2})^2} - \frac{1}{4} - 3b = 0$$ Для того чтобы оно имело решение на отрезке $$t \in [ - 1;1]$$ потребуем $$\begin{cases}f(0.5) \leqslant 0\\f(-1) \geqslant 0\end{cases} $$ Откуда: $$ - \frac{2}{3} \leqslant b \leqslant \frac{1}{{12}}$$

Рассмотрим уравнение $$2{(t - \frac{1}{4})^2} - \frac{1}{8} - 4b = 0$$ Для того чтобы оно имело решение на отрезке $$t \in [ - 1;1]$$ потребуем $$\begin{cases}f(0.25) \leqslant 0\\f(-1) \geqslant 0\end{cases} $$ Откуда: $$ - \frac{3}{4} \leqslant b \leqslant - \frac{1}{{32}}$$

Обьеденяя решения: $$ - \frac{2}{3} \leqslant b \leqslant \frac{1}{{32}}$$

Определим при каких значениях параметра может случится разрыв: $$\eqalign{ & {t^2} = - b;\,\,\,\,\,{t^2} - t + 3b = 0;\,\,\,\,\, - b - t + 3b = 0;\,\,\,\,\,\,t = 2b;\,\,\,\,\, \cr & {t^2} = 4{b^2} \Rightarrow 4{b^2} = - b;\,\,\,\,{b_1} = 0,\,\,\,\,{b_2} = - \frac{1}{4} \cr} $$ Проверка показывает что $$b = 0$$ нам подходит. Тогда окончательное решение: $$ - \frac{2}{3} \leqslant a - 1 < - \frac{1}{4};\,\,\,\,\,\, - \frac{1}{4} < a - 1 \leqslant \frac{1}{{32}} \Rightarrow \frac{1}{3} \leqslant a < \frac{3}{4};\,\,\,\,\,\frac{3}{4} < a \leqslant \frac{{33}}{{32}}$$

ссылка

отвечен 15 Май '14 6:45

изменен 15 Май '14 6:46

10|600 символов нужно символов осталось
2

$$yt^2-t+(a-1)(y+2)=0$$ должно иметь решение относительно $%t$%, лежащее на отрезке $%[-1;1]$% при любом $%y\in[1;2]$%, причем такое, что $%a-1+t^2\neq 0$%.

Варианты:

  1. 1 корень на этом интервале - это то, что получилось у Вас.
  2. 2 корня - как раз соответствует второму интервалу. Правда у меня не $%32/33$% получилось, а наоборот - $%33/32$%.
ссылка

отвечен 14 Май '14 1:51

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,849
×534
×5

задан
13 Май '14 23:36

показан
676 раз

обновлен
15 Май '14 6:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru