Представьте, что вы находитесь на скачках кузнечиков, проводимых по следующим правилам: два кузнечика одновременно начинают прыгать по прямой из точки $%A$% в точку $%B$% и обратно. Вернувшись в $%A$%, они повторяют маршрут и т.д. Скорость первого кузнечика равна 12 ед/с, скорость второго равна 5 ед/с, расстояние между $%A$%и $%B$% равно 60 единиц. Бега продолжаются 60 секунд. Какое время кузнечики могут видеть друг друга? Считать, что кузнечик прыгает головой вперед и видит только то, что находится перед ним.

задан 14 Май '14 15:20

изменен 14 Май '14 19:44

10|600 символов нужно символов осталось
1

Я нарисовал два графика движения: это ломаные линии, которые меняют направление в моменты времени, кратные 5 или 12. Нас интересуют такие моменты, когда один из кузнечиков разворачивается и начинает двигаться навстречу другому. Таких моментов имеется восемь, что можно увидеть из графиков. Это 5, 12, 20, 25, 35, 40, 48, 55. Из тех же графиков можно подсчитать, каково расстояние между кузнечиками в эти моменты времени. Это числа 35, 36, 20, 55, 5, 40, 24, 25. Суммы чисел, равноудалённых от концов списка, равны при этом 60, то есть сумма всех чисел равна 240. Если её разделить на 17, то есть на сумму скоростей, мы получим суммарное время, когда кузнечики сближаются, двигаясь навстречу, то есть когда каждый из них видит другого. Это число равно $%T=240/17$%, то есть чуть меньше четверти общего времени бегов.

Скорее всего, к этому же выводу можно прийти без прямого подсчёта, но я пока что не вижу, как именно. То, что суммы равны 60, можно вывести из свойства симметричности графиков, а вот то, что пар получается 8, и поэтому идёт умножение на 4 -- это делается при помощи непосредственного анализа.

ссылка

отвечен 14 Май '14 21:58

@falcao, не очень понимаю, почему надо делить на 17 - сумму скоростей. У меня по-другому получается, но ошибку найти не могу.

(14 Май '14 23:44) cartesius

@cartesius: мы фиксируем момент, когда они начинают идти навстречу друг другу. Если расстояние равно d, то до момента встречи проходит время d/(12+5). А после встречи они друг друга уже не видят.

(14 Май '14 23:55) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Продолжим скачки до 120 сек. И будем считать то время, когда кузнечики движутся в разных направлениях. Расставляя (для каждого кузнечика) на числовой оси (по времени) знаки $%+$%, когда кузнечик движется из $%A$% в $%B$%, и $%-$%, когда кузнечик движется из $%B$% в $%A$%, видим, что они движутся в разных направлениях $%50$% сек. Видят друг друга они только половину этого времени - $%25$% сек.

В силу симметричности я тупо делю это время пополам и получаю $%12,5$%. Что не совпадает с ответом предыдущего автора.

ссылка

отвечен 15 Май '14 0:01

Первоначально у меня тоже был вариант с графиками, но слишком уж лениво считать точки пересечения. К тому же задача уж слишком похожа на теоретико-числовую, чтобы считать ее "в лоб".

(15 Май '14 0:06) cartesius

@cartesius: тут из соображений симметрии не следуют столь сильные выводы. Можно утверждать, что первые 60 секунд движения они будут сближаться столько же времени, сколько будут отдаляться в течение следующих 60 секунд. Но на "половинках" данные будут разные. Если взять числа 2 и 3 вместо 5 и 12, то подсчёт делается совсем простым, и там непосредственно видно, что симметрии в "сильном" варианте не будет. Из первых 6 секунд на сближение приходится 6/5, а на отдаление 9/5.

(15 Май '14 0:36) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×545
×59

задан
14 Май '14 15:20

показан
1004 раза

обновлен
15 Май '14 0:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru