Площадь основания прямой треугольной призмы равна $%S$%. Радиус шара, описанного около призмы, равен $%R$%. Какое наибольшее значение при этих условиях может принимать объем призмы?

задан 14 Май '14 15:23

10|600 символов нужно символов осталось
1

Требуется, чтобы высота $%h$% призмы была наибольшей. Центр описанного шара проектируется в точку, равноудалённую от вершин основания. Если $%r$% -- радиус описанной около основания окружности, то возникает прямоугольный треугольник с гипотенузой $%R$% и катетами $%r$% и $%h/2$%. Ясно, что $%h$% будет тем больше, чем меньше окажется $%r$%. Поэтому всё сводится к такой планиметрической задаче: при каком наименьшем радиусе описанной окружности $%r$% треугольник может иметь площадь $%S$%? Это равносильно тому, что при фиксированном $%r$% мы максимизируем площадь $%S$% вписанного треугольника. Такой треугольник должен быть правильным: из общих соображений следует, что максимум должен достигаться (он всегда имеется у непрерывной функции, ограниченной сверху, заданной на замкнутом ограниченном множестве). Поэтому, если треугольник правильным не является, то какая-то из вершин лежит не на середине дуги, и можно её туда переместить, увеличивая площадь.

Далее идут простые вычисления. Сторона правильного треугольника равна $%r\sqrt3$%, и площадь равна $%S=\frac{3\sqrt3}4r^2$%, откуда $%r^2=\frac{4S}{3\sqrt3}$%. Из равенства $%h=2\sqrt{R^2-r^2}$% выражаем высоту, и объём будет равен $%V=Sh$%. Задача имеет решение при $%S < \frac{3\sqrt3R^2}4$%.

ссылка

отвечен 14 Май '14 19:16

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,024
×524

задан
14 Май '14 15:23

показан
1072 раза

обновлен
14 Май '14 19:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru