Какую замену необходимо сделать для решения определённого интеграла:

∫ ((X^2 + 1)^1/2) / X ?

пределы инт-я от 1 до 6

задан 14 Май '14 16:52

10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

ссылка

отвечен 14 Май '14 17:08

@epimkin: проверил численно через Maple -- всё совпало!

(14 Май '14 17:21) falcao

@falcao, я еще другим способом решил(через тригонометрическую замену)-совпало. А мат пакетов у меня на компьютере до сих пор не установлены

(14 Май '14 17:28) epimkin

@epimkin: есть ещё онлайновые средства типа Wolfram. Их можно использовать как минимум для проверки вычислений. Пользоваться ими легко.

(14 Май '14 18:00) falcao

Спасибо большое)) Про онлайн средства я знаю, но надо всё же понять самой, как решать))

(14 Май '14 21:27) ещёоднаТатьяна

@ещёоднаТатьяна: мой комментарий был адресован @epimkin, и он касался только возможных средств для проверки решения. Решать, конечно, нужно самостоятельно.

(14 Май '14 22:19) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Для нахождения интеграла $$\int\limits_1^6{\dfrac{(x^2 + 1)^\frac{1}{2}} {x}\ dx} $$ можно воспользоваться гиперболической заменой $$x = \operatorname{sh}{t} \Rightarrow \left[ \matrix {dx = \operatorname{ch}{t}\ dt, \\ x^2+1=\operatorname{ch}^2{t}} \right],$$ после чего подынтегральное выражение приобретет вид $${\dfrac{(x^2 + 1)^\frac{1}{2}} {x}\ dx}=\dfrac{\operatorname{ch}^2{t}}{ \operatorname{sh}{t}}\ dt = \left(\dfrac{1 + \operatorname{sh}^2{t}}{ \operatorname{sh}{t}}\right)\ dt = \left(\dfrac{1}{\operatorname{sh}{t}} + \operatorname{sh}{t}\right)\ dt\ .$$ Первообразная $$\int{\dfrac{1}{\operatorname{sh}{t}}\ dt}$$ легко находится, если учесть, что $%\operatorname{sh}{t} = \dfrac{e^t-e^{-t}}{2}\ :$% $$\int{\dfrac{1}{\operatorname{sh}{t}}\ dt} = 2\int{\dfrac{dt}{e^t-e^{-t}} } = 2\int{\dfrac{d(e^t)}{e^{2t}-1} } .$$ Дальше затруднений возникнуть не должно (не забудьте найти новые пределы интегрирования).

ссылка

отвечен 15 Май '14 0:36

изменен 15 Май '14 0:38

1

Можно также домножить $%ch^2t/sh t$% на $%sh t$% в числителе и знаменателе, получая $%u^2du/(u^2-1)$%, где $%u=ch t$%.

(15 Май '14 0:42) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×234

задан
14 Май '14 16:52

показан
1202 раза

обновлен
15 Май '14 0:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru