Группе альпинистов требуется перенести груз весом $%1000$% кг из одного базового лагеря (БЛ) в другой на расстояние $%480$% км. На пути можно разместить ещё несколько БЛ. Стоимость обустройства каждого БЛ равна $%54000$% у.е. Шерпы берут $%0.001ML^3$% у.е. за перемещение груза весом $%M$% кг из одного БЛ в другой на расстояние $%L$% км. Сколько БЛ (включая БЛ в начале и конце следует разместить для того, чтобы общая стоимость была наименьшей?

задан 15 Май '14 14:22

изменен 18 Май '14 13:30

10|600 символов нужно символов осталось
1

Из общих соображений можно вывести, что наименьшее значение где-то достигается. Покажем, что при этом все БЛ расположены на одинаковом расстоянии друг от друга. Пусть $%x$%, $%y$% -- расстояния между последовательными БЛ. Если $%x\ne y$%, то можно передвинуть один из БЛ в середину, уменьшая при этом сумму кубов чисел. Действительно, $%x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$%. При фиксированной сумме $%x+y$% минимум будет достигаться при максимальном $%xy$%, а это имеет место при $%x=y$%, что следует из неравенства о среднем.

Таким образом, пусть имеется $%k\ge1$% промежутков пути, и $%k+1$% базовый лагерь, считая первый и последний. Стоимость обустройства лагерей равна $%54\cdot10^3(k+1)$%. Стоимость перемещения груза между двумя лагерями равна $%L^3=(\frac{480}k)^3$% с учётом того, что $%0,001M=1$%, а расстояние между соседними БЛ равно $%\frac{480}k$%. На все перемещения вместе будет затрачено $%L^3k$% у.е.

В итоге мы должны найти такое $%k$%, при котором величина $%54\cdot10^3(k+1)+\frac{480^3}{k^2}$% минимальна. После деления на $%10^3$% и вычитания константы получится $%54k+\frac{48^3}{k^2}$%. Рассматривая функцию с вещественным аргументом и находя производную, мы видим, что наименьшее значение достигается при условии $%54-2\cdot\frac{48^3}{k^3}$%, то есть при $%k=16$% (кубические корни извлекаются "точно"). Такая точка будет точкой наименьшего значения для функции, что видно из поведения производной. Значит, надо построить всего $%k+1=17$% лагерей.

ссылка

отвечен 18 Май '14 14:48

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,131
×545
×346
×39

задан
15 Май '14 14:22

показан
653 раза

обновлен
18 Май '14 14:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru