Дана кривая в плоскости Oxy уравнением y = ln cos x.
Вычислить длину дуги этой кривой, заключенной между точками x = 0 и x = pi/2

Решал так:

$$ x = x; $$ $$y = ln cos x; $$

$$x' = 1; $$ $$y' = -tg x; $$

$$\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1+tg^2x}\, dx = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{1/\cos^2x}\, dx = \int_{0}^{\pi/2} \ 1/cosx \, dx = \ln|tg(3\pi/2)|-\ln|tg(\pi/2)| $$

вот такая фигня получается, как лучше решить?

задан 15 Май '14 16:28

изменен 15 Сен '18 17:04

%D0%9A%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0's gravatar image


9.1k221

@arukasa: а откуда в конце такие странные пределы интегрирования? Там если в первообразную подставить, то получатся 0 и бесконечность. Длина кривой тут бесконечна, что ясно и без формул. Ведь y уходит бесконечно вниз при стремлении x к правому концу.

Может быть, в формулировке верхний предел интегрирования указали ошибочно. Для п/4 вместо п/2 задача имеет нормальный ответ.

(15 Сен '18 18:49) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

У Вас несобственный интеграл, т.к. при $%x\rightarrow\pi/2$% функция стремится к $%-\infty$%.

$$\int_0^{\pi/2}(1/\cos x )dx=\lim_{\varepsilon\rightarrow +0}\int_0^{\pi/2-\varepsilon}(1/\cos x )dx$$

Считаете интеграл $%\int_0^{\pi/2-\varepsilon}(1/\cos x )dx$% - получаете значение от параметра $%\varepsilon$%, а затем берете предел.

Результат действительно должен получиться $%+\infty$%.

ссылка

отвечен 15 Май '14 16:53

изменен 15 Май '14 16:56

Спасибо ._."

(15 Май '14 16:57) arukasa

только получается минус бесконечность....

(15 Май '14 17:49) arukasa

Все верно, минус. Плюс я написала из соображений, что длина кривой не может быть отрицательным. А вот интеграл - может.

(15 Май '14 17:59) cartesius

@cartesius: к минус бесконечности стремится функция y. Но интеграл там положителен, потому что величина 1/cos(x) положительна на интервале.

(15 Сен '18 18:51) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,931
×3,024
×7

задан
15 Май '14 16:28

показан
5289 раз

обновлен
15 Сен '18 18:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru