Решить уравнение: $$2^{2^{\sin^2x}}+2^{2^{0.5cos2x}}=2^{1+\sqrt[4]{2}}$$

задан 15 Май '14 18:37

10|600 символов нужно символов осталось
1

Докажем, что левая часть не меньше правой. Рассмотрим такое неравенство: $$2^u+2^v\ge2\cdot2^{(u+v)/2}.$$ Оно верно для любых чисел, что можно доказать, опираясь на вогнутость (выпуклость вниз) показательной функции с основанием 2. Можно вместо этого разделить обе части на $%2^{(u+v)/2}$%, и тогда получится неравенство вида $%z+\frac1z\ge2$%, где $%z=2^{(u-v)/2}$%, верное для всех положительных $%z$%.

Применяя это неравенство, мы далее воспользуемся тем, что $%\frac{u+v}2\ge\sqrt{uv}$% для положительных $%u$%, $%v$%. Перемножая показатели степеней двойки, мы получим число $%uv=2^y$%, где $%y=\sin^2x+\frac12\cos2x=\frac12$%. Таким образом, $%uv=\sqrt2$%, то есть $%\sqrt{uv}=\sqrt[4]2$%. В итоге оказывается, что $%2^u+2^v\ge2\cdot2^{\sqrt[4]2}$%, что и требовалось установить.

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда $%u=v$%. Это значит, что "верхние" показатели степеней равны, то есть $%\sin^2x=\frac12\cos2x$%, что равносильно $%\cos2x=\frac12$%. Такое уравнение легко решается.

ссылка

отвечен 15 Май '14 21:00

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×648

задан
15 Май '14 18:37

показан
380 раз

обновлен
15 Май '14 21:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru