Решить уравнение: $$2\sqrt{3}\sin 5x - \sqrt{3} \sin x=\cos 24x \cos x + 2\cos 5x-6$$

задан 15 Май '14 18:38

10|600 символов нужно символов осталось
2

Рассмотрим следующие неравенства: $%2\sqrt3\sin5x-2\cos5x=4(\sin5x\cos\frac{\pi}6-\cos5x\sin\frac{\pi}6)=4\sin(5x-\frac{\pi}6)\ge-4$%, а также $%\sqrt3\sin x+\cos24x\cos x\le2(\frac{\sqrt3}2|\sin x|+\frac12|\cos x|)$%. В последнем случае можно подобрать такой угол $%y$% из первой четверти, для которого $%\cos y=|\cos x|$% и $%\sin y=|\sin x|$%. Тогда выражение из правой части последнего неравенства можно записать как $%2\sin(y+\frac{\pi}6)$%, что не превосходит $%2$%.

Таким образом, если уравнение записать в виде $%6+2\sqrt3\sin5x-2\cos5x=\sqrt3\sin x+\cos24x\cos x$%, то левая часть окажется не меньше двух, а правая -- не больше двух. Равенство имеет место, если обе части равны двум. Это значит, что $%\sin(5x-\frac{\pi}6)=-1$%. Кроме того, $%\sin x=\frac{\sqrt3}2$%, $%\cos x=\pm\frac12$%, и $%\cos24x=\pm1$% (с согласованным выбором знака). В противном случае правая часть записанного нами уравнения окажется строго меньше двух.

Заметим, что из первого условия следует, что $%5x-\frac{\pi}6=-\frac{\pi}2+2\pi k$%, то есть $%5x+\frac{\pi}3$% кратно $%2\pi$%. Решая уравнение $%\sin x=\frac{\sqrt3}2$%, получаем две серии $%x=\frac{\pi}3+2\pi m$% и $%x=\frac{2\pi}3+2\pi m$% ($%m$% целое). Предыдущее условие верно для первой серии и неверно для второй. Осталось заметить, что для первой из серий $%\cos x=\frac12$%, и $%\cos24x=1$%, то есть эта серия подходит.

Таким образом, $%x=\frac{\pi}3+2\pi m$%.

ссылка

отвечен 15 Май '14 21:38

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×947
×648

задан
15 Май '14 18:38

показан
532 раза

обновлен
15 Май '14 21:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru