|
Функция $%f(t)$% такова, что сумма корней уравнения $%f(\cos x)=0 $% на отрезке $%[\pi / 2; \pi]$% равна $%17\pi$%, а сумма корней уравнения $%f(\sin x)=0 $% на отрезке $%[\pi; 3\pi /2]$% равна $%29\pi$%. Чему равна сумма корней второго уравнения на отрезке $%[3\pi /2; 2 \pi]$%? задан 16 Май '14 11:40 
student |
|
Пусть $%s$% - число корней первого уравнения. Перепишем его в виде $%f(\sin(\pi/2-x))=0$%. Сделаем замену $%t=\pi/2-x$%. Сумма всех корней $%t$% на отрезке $%[-\pi/2;0]$% равна $%s\pi/2-17\pi$%. Добавляя период, получим, что сумма всех корней уравнения $%f(\sin x)=0$% на $%[3\pi/2;2\pi]$% равна $%5s\pi/2-17\pi$%. Заметим, что уравнение $%f(\sin x)=0$% имеет одинаковое число корней на отрезках $%[3\pi/2;2\pi]$% и $%[\pi;3\pi/2]$%. Причем для каждого решения $%x_1\in [\pi;3\pi/2]$% найдется решение $%x_2\in [3\pi/2;2\pi]$% так, что $%x_1+x_2=3\pi$%. Следовательно, суммируя все решения, получаем $$29\pi+5s\pi/2-17\pi=3s\pi.$$ Откуда $%s=24$% и ответ равен $%43\pi$%. отвечен 16 Май '14 14:38 
cartesius |
Вот на всякий случай ссылка на аналогичную задачу, хотя принцип решения здесь везде примерно одинаковый.