Как показать, что в метрическом пространстве точка x принадлежит замыканию множества A⊂X тогда и только тогда, когда существует последовательность точек множества A, сходящаяся к x.

задан 16 Май '14 19:44

10|600 символов нужно символов осталось
0

Если $%x\in\bar{A}$%, то по определению любая окрестность точки $%x$% имеет непустое пересечение с $%A$%. Возьмем в качестве таких окрестностей шары с центром в $%x$% радиуса $%1/n$%: $%U_{1/n}(x)=\{y\in X|\rho(x,y)<1/n\}$%. Пусть $%x_n\in U_{1/n}(x)\cap A$%, тогда последовательность $%\{x_n\}$% сходится к $%x$%.

Обратно, пусть последовательность $%\{x_n\}\subset A$% сходится к $%x$%. Тогда для любого $%\varepsilon> 0$% найдется $%n_0$%, что для всех $%n>n_0$% выполнено условие $%\rho(x_n,x)< \varepsilon$%. Т.е. для любого $%\varepsilon> 0$% выполнено: $%U_{\varepsilon}(x)\cap A\neq\emptyset$%, т.к. содержит $%x_n$%. Шары образуют базу топологиию, поэтому любая окрестность $%x$% имеет не пустое пересечение с $%A$%, т.е. $%x\in\bar{A}$%.

ссылка

отвечен 16 Май '14 19:52

изменен 16 Май '14 19:58

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×369

задан
16 Май '14 19:44

показан
564 раза

обновлен
16 Май '14 19:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru