Покажите, что отображение f: C^->R^, определенное по правилу z->|z|, задает топологический гомоморфизм групп C^ в R^.

задан 16 Май '14 21:01

Что обозначают галочки? Если Вы хотите получить ответ на свой вопрос, то хотя бы корректно опишите задачу. Иначе вопрос вообще не имеет смысла.

(16 Май '14 21:15) cartesius

Извиняюсь, хотел изобразить степень "звездочка" и у C, и у R.

(16 Май '14 21:20) JackieEstacado

@JackieEstacado: здесь есть такая особенность редактора, что он "звёздочки" воспринимает как выделение жирным шрифтом. Поэтому в таких случаях лучше использовать команду \ast для набора этих символов.

(16 Май '14 21:26) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Я так понимаю, имеются в виду мультипликативные группы $%{\mathbb C}^{\ast}$% и $%{\mathbb R}^{\ast}$%.

То, что это гомоморфизм групп, следует из равенства $%|z_1z_2|=|z_1||z_2|$%. Ввиду непрерывности функции $%z\mapsto|z|$%, это будет топологический гомоморфизм.

ссылка

отвечен 16 Май '14 21:18

изменен 16 Май '14 21:19

10|600 символов нужно символов осталось
0

Что отображение $%f\colon\mathbb{C}^{\ast}\rightarrow\mathbb{R}^{+}\colon z\mapsto |z|$% является гомоморфизмом групп следует из формул для умножения комплексных чисел в тригонометрической форме: $$f(z)\cdot f(w)=|z|\cdot |w|.$$ С другой стороны $$f(z\cdot w)=f(|z\cdot w|(\cos(\varphi+\psi)+\sin(\varphi+\psi)))=|z\cdot w|,$$ но $%|z|\cdot |w|=|z\cdot w|$%.

Что это отображение непрерывно можно доказать, показав, что прообраз интервала $%(a;b)\subset\mathbb{R}^{+}$% открыт. Но это кольцо - $%\{z|a< |z| < b\}$% - открытое множество.

ссылка

отвечен 16 Май '14 21:28

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×369

задан
16 Май '14 21:01

показан
696 раз

обновлен
16 Май '14 21:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru