|
Покажите, что отображение f: C^->R^, определенное по правилу z->|z|, задает топологический гомоморфизм групп C^ в R^. задан 16 Май '14 21:01 
JackieEstacado |
|
Я так понимаю, имеются в виду мультипликативные группы $%{\mathbb C}^{\ast}$% и $%{\mathbb R}^{\ast}$%. То, что это гомоморфизм групп, следует из равенства $%|z_1z_2|=|z_1||z_2|$%. Ввиду непрерывности функции $%z\mapsto|z|$%, это будет топологический гомоморфизм. отвечен 16 Май '14 21:18 
falcao |
|
Что отображение $%f\colon\mathbb{C}^{\ast}\rightarrow\mathbb{R}^{+}\colon z\mapsto |z|$% является гомоморфизмом групп следует из формул для умножения комплексных чисел в тригонометрической форме: $$f(z)\cdot f(w)=|z|\cdot |w|.$$ С другой стороны $$f(z\cdot w)=f(|z\cdot w|(\cos(\varphi+\psi)+\sin(\varphi+\psi)))=|z\cdot w|,$$ но $%|z|\cdot |w|=|z\cdot w|$%. Что это отображение непрерывно можно доказать, показав, что прообраз интервала $%(a;b)\subset\mathbb{R}^{+}$% открыт. Но это кольцо - $%\{z|a< |z| < b\}$% - открытое множество. отвечен 16 Май '14 21:28 
cartesius |
Что обозначают галочки? Если Вы хотите получить ответ на свой вопрос, то хотя бы корректно опишите задачу. Иначе вопрос вообще не имеет смысла.
Извиняюсь, хотел изобразить степень "звездочка" и у C, и у R.
@JackieEstacado: здесь есть такая особенность редактора, что он "звёздочки" воспринимает как выделение жирным шрифтом. Поэтому в таких случаях лучше использовать команду \ast для набора этих символов.