Доказать соотношение $%X\times Y=A\times B \Leftrightarrow X=A, Y=B$%.

задан 16 Май '14 21:25

изменен 16 Май '14 21:31

cartesius's gravatar image


9.8k212

10|600 символов нужно символов осталось
0

Без дополнительных оговорок это утверждение неверно. Например, если $%X=B=\emptyset$%, а два других множества непусты, то оба декартовых произведения окажутся пустыми -- при том, что $%X\ne A$%.

Надо добавить условие, что все множества непусты. Импликация справа налево очевидна. Слева направо рассуждаем так. Пусть дано, что $%X\times Y=A\times B$%. Если $%X\ne A$%, то найдётся элемент, который принадлежит одному из множеств, но не другому. Без ограничения общности положим $%x\in X$%, $%x\notin A$%. Поскольку $%Y$% непусто, найдётся элемент $%y\in Y$%. Тогда упорядоченная пара $%(x;y)$% принадлежит $%X\times Y$%. Значит, она должна принадлежать и равному множеству $%A\times B$%, откуда $%x\in A$% -- противоречие. Это доказывает $%X=A$%, и аналогично доказывается $%Y=B$%.

ссылка

отвечен 16 Май '14 21:35

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×369

задан
16 Май '14 21:25

показан
436 раз

обновлен
16 Май '14 21:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru