|
Точки K,L,M,N, середины AB,BC,CD,AD выпуклого четырехугольника ABCD соответственно. Известно, что KM:LN=1:2 и пересекаются под углом 60 градусов. Найдите длину меньшей диагонали четырехугольника ABCD, если длина большей равна $$ \sqrt{21} $$. задан 16 Май '14 22:40 
Snaut |
|
Пусть $%O$% -- точка пересечения диагоналей параллелограмма $%KLMN$%. Примем $%OK=OM$% за $%x$%, тогда $%OL=ON=2x$%. По теореме косинусов найдём $%KL=x\sqrt3$% и $%KN=x\sqrt7$% -- при условии, что угол $%KOL$% равен 60 градусам, а угол $%KON$%, соответственно, равен 120 градусам. Ввиду того, что $%KL$% как средняя линия равна половине длины диагонали $%AC$%, и $%KN$% есть половина $%BD$%, получаем $%AC:BD=KL:KN=\sqrt{\frac37}$%. Ясно тогда, что $%BD=\sqrt{21}$% -- большая диагональ, и тогда для меньшей получается $%AC=3$%. отвечен 17 Май '14 0:40 
falcao |