Уравнение на целую часть

Положим $%[x]=k\in{\mathbb Z}$%. Тогда $%x^2=10k-9\ge0$%, откуда $%k\ge1$%, поэтому $%x$% положительно, и $%x=\sqrt{10k-9}$%. При этом должны выполняться неравенства $%k\le\sqrt{10k-9} < k+1$%, которые равносильны возведённым в квадрат: $%k^2\le10k-9 < k^2+2k+1$%. Это значит, что $%(k-5)^2\le16$% и $%(k-4)^2 > 6$%, откуда $%1\le k\le9$%, и при этом $%|k-4| > \sqrt6$%, то есть $%|k-4|\ge3$%. Получается, что $%k\in\{1;7;8;9\}$%, что даёт четыре решения $%x\in\{1;\sqrt{61};\sqrt{71};9\}$%.