Покажите, что любая последовательность в метрическом пространстве может иметь не более одного предела. Покажите, что любая сходящаяся последовательность фундаментальна.

задан 17 Май '14 0:51

10|600 символов нужно символов осталось
0

Это теоретические факты из учебника. Они легко доказываются на основании определений. Можно взять также учебник матанализа, посмотреть на доказательства аналогичных фактов, а потом изложить их для метрических пространств, беря вместо модулей разности чисел расстояния между элементами.

В принципе, легко напомнить эти рассуждения (они достаточно простые). Если допустить, что последовательность $%x_n$% точек метрического пространства имеет как предел $%a$%, так и предел $%b$%, где $%a\ne b$%, то $%\rho(a,b) > 0$%. Положим $%\varepsilon=\frac12\rho(a,b)$%. Тогда $%\rho(x_n,a) < \varepsilon$% для всех $%n\ge n_1$% и $%\rho(x_n,b) < \varepsilon$% для всех $%n\ge n_2$%. Возьмём произвольное $%n\ge \max(n_1,n_2)$%. Тогда $%2\varepsilon=\rho(a,b)\le\rho(a,x_n)+\rho(x_n,b) < \varepsilon+\varepsilon$%, что является противоречием.

Для доказательства второго утверждения предположим, что $%x_n$% имеет предел $%a$%. Для любого $%\varepsilon$% рассмотрим такой номер $%n_0$%, для которого $%\rho(x_n,a) < \varepsilon/2$% при всех $%n\ge n_0$%. Тогда при $%m,n\ge n_0$% выполняется условие $%\rho(x_m,x_n)\le\rho(x_m,a)+\rho(a,x_n) < \varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$%, то есть последовательность является фундаментальной.

ссылка

отвечен 17 Май '14 1:19

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×369

задан
17 Май '14 0:51

показан
513 раз

обновлен
17 Май '14 1:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru