Точки $%K,L,M,N$% - середины соответственно сторон $%AB,BC,CD,AD$% параллелограмма $%ABCD$% площадью $%S$%. Найдите площадь параллелограмма, образованного пересечениями прямых $%AL, BM, CN$% и $%DK$%.

задан 17 Май '14 21:09

1

Параллелограмм можно спроектировать на квадрат. Отношения площадей останутся теми же. Для квадрата всё можно посчитать, например, координатным методом. Должна получиться 1/5 площади, если не ошибаюсь.

(17 Май '14 21:17) falcao

@falcao: один-единственный вопрос. Я знаю, что проектируется до квадрата: в одном из моих предыдущих вопросов уже встречалось нечто подобное. Не могли бы Вы поподробнее рассказать о "проектировании" и почему сохраняются отношения? (это очевидно, но нужно получить полное понимание происходящего)

(17 Май '14 21:32) student

Отвечу сейчас в "основной" части, потому что если Вас интересует подробное обоснование, то оно в рамки комментария не поместится.

(17 Май '14 22:09) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Отвечаю здесь на вопрос из комментария.

О проектировании: пусть дана точка $%P$% и плоскость $%\alpha$%. Опустим из точки $%P$% перпендикуляр на плоскость $%\alpha$%. Основание $%P'$% этого перпендикуляра называется (ортогональной) проекцией точки $%P$% на плоскость $%\alpha$%. Поскольку любая фигура состоит из точек, можно спроектировать на плоскость всю эту фигуру поточечно.

Известно, что если плоская фигура имеет площадь $%S$%, и она проектируется на другую плоскость, то площадь проекции равна $%S\cos\varphi$%, где $%\varphi$% -- (двугранный) угол между плоскостями. Это свойство доказывается в учебниках геометрии и часто применяется при решении задач.

Если в плоскости имеются две фигуры площадью $%S_1$% и $%S_2$%, то после проектирования площади умножаются на один и тот же коэффициент $%k=\cos\varphi$%. Поэтому отношение площадей сохраняется, то есть оно одно и то же для исходных фигур, и для их проекций.

Этот принцип можно использовать следующим образом. Если в какой-то задаче имеется, скажем, треугольник, и спрашивается об отношении площадей каких-то его частей, то можно спроектировать этот треугольник на равносторонний, и решать задачу для этого случая, что может оказаться проще.

Так же точно, если имеется параллелограмм, то его сначала можно спроектировать на прямоугольник. Делается это так: проводим через вершины параллелограмма параллельные линии, которые задают "стенки" параллелепипеда. Затем выбираем такую плоскость, чтобы в пересечении со "стенками" получился прямой угол. Проекцией параллелограмма на неё будет прямоугольник. Его уже легко спроектировать на квадрат.

Теперь два слова об исходной задаче. Рассматриваем вместо параллелограмма единичный квадрат. Его центр имеет координаты $%(\frac12;\frac12)$%. Составляем уравнения двух прямых: $%y=2x$% и $%y=\frac{1-x}2$%. Точкой пересечения будет $%(\frac15;\frac25)$%. Это одна из вершин квадрата, площадь которого надо найти. Она находится на расстоянии $%\sqrt{(\frac12-\frac15)^2-(\frac12-\frac25)^2}=\frac1{\sqrt{10}}$%. Значит, сторона маленького квадрата равна $%\frac1{\sqrt5}$%, и его площадь равна $%\frac15$%, то есть это пятая часть всей площади. Для параллелограмма отношение будет такое же.

Решать можно и по-другому, через отношения длин отрезков. Но здесь всё вычисляется быстро, и объяснять проще (не надо вводить много обозначений, отслеживая их на чертеже).

ссылка

отвечен 17 Май '14 22:32

Великолепно. Спасибо Вам преогромное не только за эту задачу, но и вообще за то, как сильно Вы помогаете разбираться в математике!

(17 Май '14 22:34) student
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×259

задан
17 Май '14 21:09

показан
817 раз

обновлен
17 Май '14 22:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru