Точка $%O$% - центр вписанной в треугольник $%ABC$% окружности. Продолжение отрезка $%BO$% за точку $%O$% пересекает описанную вокруг треугольника $%ABC$% окружность в точке $%D$%. Найдите угол $%B$%, если $%OD=4AC$%.

задан 17 Май '14 22:31

10|600 символов нужно символов осталось
3

alt text

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника. $% \angle ABO=\angle CBO=\smile \frac{AD}2=\smile \frac{CD}2=\angle DAH=\angle ACD=\frac{\beta}2.$%

$%\angle CAO=\angle BAO=\frac{\alpha}2,\ \angle AOD= \frac{\alpha}2+\frac{\beta}2$% (Внешный угол треугольника $%AOB$%).

$%\angle DAO= \frac{\alpha}2+\frac{\beta}2=\angle DOA.$%

Значит $%AD = OD = 4AC.\ $% Ясно, что $%\angle ADC=180^0-\angle ABC. $%

Из прямоугольного треугольника $%ADH,$%

$%cos\frac{\beta}2=\frac{AH}{AD}=\frac{AC}{2AD}=\frac18 \Rightarrow \beta=2arccos\frac18$%

ссылка

отвечен 17 Май '14 23:47

изменен 18 Май '14 0:06

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть точка S является центром описанной вокруг треугольника ABC окружности. Треугольник CSA - равнобедренный (CS = SA = SD). Тогда половина центрального угла CSA есть $$arc sin (AC/(2 \times 4AC)) = arc sin (1/8)$$.Но угол B опирается на ту же дугу, что и угол CSA. Значит, угол B = $$arc sin (1/8)$$.

ссылка

отвечен 17 Май '14 23:05

Тут из теоремы синусов всё следует: $%AC=2R\sin\hat{B}$%. Вы, фактически, воспроизвели одно из её доказательств.

P.S. Центр уже был обозначен через $%O$%.

(17 Май '14 23:25) falcao

Оказывается, я невнимательно прочитал условие. Подумал, что везде речь идёт об описанной окружности, но это не так.

(17 Май '14 23:53) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,024
×1,131
×760

задан
17 Май '14 22:31

показан
1358 раз

обновлен
18 Май '14 0:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru