Подобрать соответствующую функцию и найти её экстремум. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема V.Стоимость кв.метра материала,идущего на изготовление дна бака,равна р1 руб. ,а стенок-р2 руб.Каковы должны быть радиус дна и высота,чтобы затраты на материал для его изготовления были наименьшими.

задан 18 Май '14 0:14

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пределов здесь находить не нужно: требуется решить задачу на экстремум при помощи производной.

Введём обозначения: $%R$% -- радиус основания, $%h$% -- высота. Объём равен $%V=\pi R^2h$%.

Площадь дна равна $%\pi R^2$%; стоимость его изготовления $%\pi R^2p_1$%. Площадь боковой поверхности $%2\pi Rh$%; стоимость изготовления стенок $%2\pi Rhp_2$%. Требуется минимизировать величину $%\pi(R^2p_1+2Rhp_2)$%. Заметим, что $%Rh=\frac{V}{\pi R}$%, то есть мы имеем дело с функцией $%f(R)=\pi R^2p_1+\frac{2V}Rp_2$%. Находим производную: $%f'(R)=2\pi Rp_1-\frac{2Vp_2}{R^2}$%.Она обращается в ноль при $%R^3=\frac{Vp_2}{\pi p_1}$%. Производная возрастает, и при переходе через значение $%R=\sqrt[3]{\frac{Vp_2}{\pi p_1}}$% меняет знак с минуса на плюс. Значит, найденная точка является точкой наименьшего значения функции. Радиус мы указали, а высота находится из соотношения $%h=\frac{VR}{\pi R^3}=\frac{Rp_1}{p_2}$%.

ссылка

отвечен 18 Май '14 3:10

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×769

задан
18 Май '14 0:14

показан
773 раза

обновлен
18 Май '14 3:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru