олимпиада - Сколько существует двузначных чисел

Требуется, чтобы $%(n+m)^2-n^2=m(2n+m)$% делилось на $%100$%. Пусть $%d={\mathop{\rm НОД}}(m,100)$%. Тогда $%2n+m$% делится на $%100/d$%.

Если $%100/d$% чётно, то $%m$% также чётно, и $%n+\frac{m}2$% делится на $%50/d$%. Среди $%50/d$% последовательных чисел имеется ровно одно число $%n$% с требуемым свойством при любом фиксированном $%m$%. Поскольку трёхзначных чисел всего $%900$%, и они идут последовательно, их можно разделить на $%18d$% групп по $%50/d$% чисел в каждой из них. Тогда $%18d=36$%, то есть $%d=2$%. Это число подходит, так как $%100/d$% чётно.

Теперь пусть $%100/d=2k+1$% нечётно. Если $%2n+m$% делится на $%2k+1$%, то и $%2kn+km$% делится, а тогда делится и $%n-km$%. Как и выше, в каждой группе из $%2k+1$% последовательного числа имеется ровно одно, которое нам подходит (с тем же остатком от деления на $%2k+1$%, что и $%km$%), и всего таких чисел имеется $%900:(2k+1)=9d$%. При этом $%9d=36$%, то есть $%d=4$%. Это значение подходит, так как $%100/d$% нечётно.

Вопрос принимает такой вид: сколько имеется двузначных чисел $%m$%, для которых $%{\mathop{\rm НОД}}(m,100)$% равен $%2$% или $%4$%? Это в точности все чётные числа, не делящиеся на $%5$%. Двузначных чисел имеется $%90$%; из них $%45$% чётных. Те из них, которые кратны пяти, будут кратны 10, и таких чисел 9. Их количество надо вычесть, и в ответе будет $%45-9=36$%.