$$Сколько \ существует \ двузначных \ чисел \ m, \ для \ каждого \ из \ которых \ существует \ ровно \ 36 \ трёхзначных \ $$ $$ чисел \ n , \ таких, \ что \ n^2 \ и \ (n + m)^2 \ дают \ одинаковый \ остаток \ при \ делении \ на \ 100.$$ задан 18 Май '14 0:51 night-raven |
Требуется, чтобы $%(n+m)^2-n^2=m(2n+m)$% делилось на $%100$%. Пусть $%d={\mathop{\rm НОД}}(m,100)$%. Тогда $%2n+m$% делится на $%100/d$%. Если $%100/d$% чётно, то $%m$% также чётно, и $%n+\frac{m}2$% делится на $%50/d$%. Среди $%50/d$% последовательных чисел имеется ровно одно число $%n$% с требуемым свойством при любом фиксированном $%m$%. Поскольку трёхзначных чисел всего $%900$%, и они идут последовательно, их можно разделить на $%18d$% групп по $%50/d$% чисел в каждой из них. Тогда $%18d=36$%, то есть $%d=2$%. Это число подходит, так как $%100/d$% чётно. Теперь пусть $%100/d=2k+1$% нечётно. Если $%2n+m$% делится на $%2k+1$%, то и $%2kn+km$% делится, а тогда делится и $%n-km$%. Как и выше, в каждой группе из $%2k+1$% последовательного числа имеется ровно одно, которое нам подходит (с тем же остатком от деления на $%2k+1$%, что и $%km$%), и всего таких чисел имеется $%900:(2k+1)=9d$%. При этом $%9d=36$%, то есть $%d=4$%. Это значение подходит, так как $%100/d$% нечётно. Вопрос принимает такой вид: сколько имеется двузначных чисел $%m$%, для которых $%{\mathop{\rm НОД}}(m,100)$% равен $%2$% или $%4$%? Это в точности все чётные числа, не делящиеся на $%5$%. Двузначных чисел имеется $%90$%; из них $%45$% чётных. Те из них, которые кратны пяти, будут кратны 10, и таких чисел 9. Их количество надо вычесть, и в ответе будет $%45-9=36$%. отвечен 18 Май '14 1:41 falcao Хорошее решение но есть пару вопросов. 1) Почему не рассмотрели случай когда m взаимно просто с числом 100. 2) Как доказать что среди 50/d чисел найдется только одно n удовлетворяющее условию?
(18 Май '14 4:05)
night-raven
Случай взаимной простоты рассмотрен, потому что он означает $%d=1$%. При этом $%100/d$% чётно, а мы выяснили, что среди них подходит только $%d=2$%. Поскольку число $%m$% фиксировано, то числа вида $%n+\frac{m}2$% тоже последовательные, и при делении на $%s$% все такие числа в количестве $%s$% штук дают разные остатки. Значит, ровно одно из них делится на $%s$% (здесь $%s=50/d$%, но то же верно для любого числа).
(18 Май '14 4:21)
falcao
|