$$Сколько \ существует \ двузначных \ чисел \ m, \ для \ каждого \ из \ которых \ существует \ ровно \ 36 \ трёхзначных \ $$ $$ чисел \ n , \ таких, \ что \ n^2 \ и \ (n + m)^2 \ дают \ одинаковый \ остаток \ при \ делении \ на \ 100.$$

задан 18 Май '14 0:51

10|600 символов нужно символов осталось
2

Требуется, чтобы $%(n+m)^2-n^2=m(2n+m)$% делилось на $%100$%. Пусть $%d={\mathop{\rm НОД}}(m,100)$%. Тогда $%2n+m$% делится на $%100/d$%.

Если $%100/d$% чётно, то $%m$% также чётно, и $%n+\frac{m}2$% делится на $%50/d$%. Среди $%50/d$% последовательных чисел имеется ровно одно число $%n$% с требуемым свойством при любом фиксированном $%m$%. Поскольку трёхзначных чисел всего $%900$%, и они идут последовательно, их можно разделить на $%18d$% групп по $%50/d$% чисел в каждой из них. Тогда $%18d=36$%, то есть $%d=2$%. Это число подходит, так как $%100/d$% чётно.

Теперь пусть $%100/d=2k+1$% нечётно. Если $%2n+m$% делится на $%2k+1$%, то и $%2kn+km$% делится, а тогда делится и $%n-km$%. Как и выше, в каждой группе из $%2k+1$% последовательного числа имеется ровно одно, которое нам подходит (с тем же остатком от деления на $%2k+1$%, что и $%km$%), и всего таких чисел имеется $%900:(2k+1)=9d$%. При этом $%9d=36$%, то есть $%d=4$%. Это значение подходит, так как $%100/d$% нечётно.

Вопрос принимает такой вид: сколько имеется двузначных чисел $%m$%, для которых $%{\mathop{\rm НОД}}(m,100)$% равен $%2$% или $%4$%? Это в точности все чётные числа, не делящиеся на $%5$%. Двузначных чисел имеется $%90$%; из них $%45$% чётных. Те из них, которые кратны пяти, будут кратны 10, и таких чисел 9. Их количество надо вычесть, и в ответе будет $%45-9=36$%.

ссылка

отвечен 18 Май '14 1:41

Хорошее решение но есть пару вопросов. 1) Почему не рассмотрели случай когда m взаимно просто с числом 100. 2) Как доказать что среди 50/d чисел найдется только одно n удовлетворяющее условию?

(18 Май '14 4:05) night-raven

Случай взаимной простоты рассмотрен, потому что он означает $%d=1$%. При этом $%100/d$% чётно, а мы выяснили, что среди них подходит только $%d=2$%.

Поскольку число $%m$% фиксировано, то числа вида $%n+\frac{m}2$% тоже последовательные, и при делении на $%s$% все такие числа в количестве $%s$% штук дают разные остатки. Значит, ровно одно из них делится на $%s$% (здесь $%s=50/d$%, но то же верно для любого числа).

(18 Май '14 4:21) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,131
×917
×204

задан
18 Май '14 0:51

показан
3145 раз

обновлен
18 Май '14 4:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru