Что можно сказать о сходимости ряда

$$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{1+\alpha_n}}}$$

$$\lim_{n\rightarrow\infty}{\alpha_n=0}$$

задан 4 Апр '12 13:03

изменен 4 Апр '12 21:10

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
1

Все зависит от скорости убывания $%\alpha_n $% на бесконечности. Например, при $%\alpha_n=1/ln(n) $% ряд расходится, а при $%\alpha_n=1/\sqrt {ln(n)} $% - сходится.

ссылка

отвечен 5 Апр '12 0:12

По интегральному признаку.

(5 Апр '12 0:45) Андрей Юрьевич

Да, я поняла, надо было просто упростить степени. Собственно, наши ответы совпадают (отличаются только примеры)

(5 Апр '12 1:07) DocentI

Ну вот, большое спасибо, что избавили меня от мучения набора этих формул!

(5 Апр '12 1:09) Андрей Юрьевич

Ответы правильные. Кому из вас поставить отметку о правильном решении?

(5 Апр '12 19:23) Anatoliy

А.Ю. У меня и так баллов много.

(5 Апр '12 19:32) DocentI

Слишком поздно зашел, не успел возмутиться. Я вообще-то привык уступать женщинам!

(5 Апр '12 22:49) Андрей Юрьевич

Ну, может я феминистка, обижусь еще! А Анатолий - провокатор!

(5 Апр '12 22:50) DocentI

Ни разу не встречал женщины, которая бы на это всерьез обиделась. Что же касается "феминизма", то это, на мой взгляд, просто модный бренд, такой же как, например, "гламур", "экология", "нанотехнологии" или в математике - "фракталы". Это все вопросы моды, я к этому серьезно не отношусь.

(6 Апр '12 12:52) Андрей Юрьевич

Думаю, если в математическом "споре" мне уступают как женщине - мне это будет неприятно. Я себя ценю как математика ;-))

(6 Апр '12 13:12) DocentI
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
1

Известно, что ряд $%\sum \frac{1}{n\ln^pn}$% сходится при p > 1 и расходится в противном случае. Запишем $%\ln^p n=n^{\alpha_n}$%, тогда $%\alpha_n=\log_n(\ln^pn)=p\frac{\ln\ln n}{\ln n}\to 0$% при любом p. Итак, рассматриваемый ряд может как сходиться, так и расходиться (даже при положительных $%\alpha_n$%).
Этот пример показывает, что на ответ может влиять не только порядок малости $%\alpha_n$%, но даже мультипликативная константа!

ссылка

отвечен 5 Апр '12 0:00

изменен 5 Апр '12 22:53

Это утверждение можно усилить. Если взять в знаменателе вместо $%ln^p (n) $% произведение $%ln (n) $% на $%ln(ln (n)) $% на $%ln(ln(ln (n))) $% и т.д. любой длины и возвести последний логарифм в степень p, то полученный ряд будет сходится при $%p>1$% и расходится в противном случае.

(6 Апр '12 13:04) Андрей Юрьевич
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×505

задан
4 Апр '12 13:03

показан
1134 раза

обновлен
6 Апр '12 13:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru