Найти всё $%a$%, при которых система $$\begin{cases} x^2+(y+3)^2<4, \\y=2ax^2 \end{cases}$$ имеет хотя бы одно решение. Я начертил круг без границы, обозначил $%k=2a$%, но не знаю, как найти значение $%k$%, когда парабола "касается круга" (т.е. круг как бы вписан в параболу). Понятно, что $%k<0$%, но точнее не получается.

задан 18 Май '14 12:20

10|600 символов нужно символов осталось
1

Нужно найти "критическое" значение параметра, при котором парабола и окружность касаются в некоторой точке $%(x_0;y_0)$%. Касательная, проведённая в этой точке к обеим кривым, будет общей, то есть угловой коэффициент будет одним и тем же. В случае параболы он равен производной в точке, то есть $%4ax_0$%. Для окружности удобнее воспользоваться тем, что касательная перпендикулярна радиусу. Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых при перемножении дают $%-1$%. Радиус соединяет точки $%(0;-3)$% и $%(x_0;y_0)$%. Угловой коэффициент равен $%\frac{y_0+3}{x_0}$%. После перемножения будет $%4a(y_0+3)=-1$%.

Таким образом, здесь получается система из трёх уравнений от трёх неизвестных. Два других уравнения: $%y_0=2ax_0^2$% и $%x_0^2+(y_0+3)^2=4$%. Из первого уравнения мы можем выразить $%y_0$% через $%a$%; из второго далее выражается $%x_0^2$%. Потом подставляем всё в третье уравнение, в результате чего получается $%(8a)^2+3(8a)+1=0$%. Нас интересуют отрицательные $%a$%, меньшие "критического" значения, равного отрицательному корню квадратного уравнения. Тонкость состоит в том, что корней здесь два, и оба они отрицательны. Поэтому надо использовать дополнительное условие $%y_0 < 0$%. Оно означает, что $%y_0+3 < 3$%, то есть $%4a(y_0+3) > 12a$%. Это равносильно тому, что $%8a < -\frac23$%. Тогда из двух чисел $%8a=\frac{-3\pm\sqrt5}2$% нам подходит только то, где перед знаком квадратного корня берётся минус, поскольку $%\sqrt5 > 2$%, и другое значение оказывается больше $%-\frac12$%. В итоге будет ответ $%a < -\frac{3+\sqrt5}{16}$%.

Можно решать и аналитически, полагая $%t=x^2 > 0$% (ясно, что $%x\ne0$%). Тогда неравенство $%t+(2at+3)^2 < 4$% должно иметь положительное решение относительно $%t$%. Анализ дискриминанта левой части неравенства $%4a^2t^2+(12a+1)t+5 < 0$% (мы учитываем, что $%a\ne0$%) приводит к тому, что он должен быть положителен, а это происходит при $%(8a)^2+3(8a)+1 > 0$%. Корни квадратного уравнения здесь одного знака, а нас интересует, когда они положительны. С учётом теоремы Виета, положительность их суммы приводит к условию $%12a+1 < 0$%. То есть мы приходим к тому же самому, только быстрее. Графики при этом так или иначе полезны, дабы представлять себе, что происходитю

ссылка

отвечен 18 Май '14 14:00

10|600 символов нужно символов осталось
1

В точке касания выполнены два условия:

совпадение точек $$x^2+(2ax^2+3)^2=4$$ и равенство углов наклона касательной, т.е. равенство производных. $$4ax=-x/(2ax^2+3)$$

ссылка

отвечен 18 Май '14 13:01

изменен 18 Май '14 13:33

А как Вы взяли производную, которая в правой части равенства?

(18 Май '14 13:25) student

@student, Верно, там двойки не будет.

В принципе можно из уравнения окружности выразить $%y$% и найти производную. Я продифференцировала все уравнение, откуда $%x+(y+3)y'=0$%.

(18 Май '14 13:33) cartesius

@cartesius: осталось только понять, как решить эту систему.

(18 Май '14 13:49) student

@student, А какие проблемы? $%x\neq 0$%, откуда $%2ax^2+3=-1/(4a)$% ($%a<0$%). Подставляем в первое: $%x^2=4-1/(16a^2)$%.

(18 Май '14 14:55) cartesius
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×534
×116

задан
18 Май '14 12:20

показан
1917 раз

обновлен
18 Май '14 14:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru