Найти все значения параметра $%a$%, при каждом из которых уравнение $$\sin^2 x + (a-2)^2 \sin x + a(a-2)(a-3)=0$$ имеет на отрезке $%[0;2\pi]$% ровно три корня.

задан 18 Май '14 13:38

1

Это красивая задача! Она разбиралась здесь.

(18 Май '14 14:10) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Поскольку $%\sin x=\sin (\pi-x)$%, то либо это корни $%0,\pi,2\pi$%, либо $%\pi/2$% - корень, либо $%3\pi/2$% - корень.

В первом случае получается, что $%a(a-2)(a-3)=0$%, и нам подходят $%a=0$% и $%a=2$%.

Во втором - $%a^3-4a^2+2a+5=0$%. При этом должен быть корень уравнения $%\sin x=-1-(a-2)^2$%. Что возможно только при $%a=2$%, но это не корень кубического уравнения.

В третьем случае $%a=3$% или $%a=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$%. При этом должен быть корень уравнения $%\sin x=1-(a-2)^2$%.Откуда $%a=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$%.

ссылка

отвечен 18 Май '14 14:03

изменен 18 Май '14 15:48

@cartesius: тут всё несколько сложнее. Число $%\frac{3+\sqrt{13}}2$% явно не подходит, а для чисел $%\frac{3\pm\sqrt5}2$% нужно делать отбор, и одно из значений отбрасывается.

(18 Май '14 14:54) falcao

@falcao, Да не сложнее, просто где-то вычислительная ошибка. У меня их много, т.к. тороплюсь. Сейчас перепроверю.

(18 Май '14 15:26) cartesius

@cartesius: там принципиально то, что нужно всё анализировать и в другую сторону. Те условия, которые получаются при анализе подходящих случаев, только необходимы, а их достаточность надо проверять отдельно.

(18 Май '14 15:32) falcao

@falcao, я не спорю. В последнем случае я производила отбор корней, поэтому $%a=3$% не получилось, а два остальных первоначально подошли.

(18 Май '14 15:45) cartesius
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×648
×534
×259

задан
18 Май '14 13:38

показан
632 раза

обновлен
18 Май '14 15:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru