На доске написаны несколько чисел. Известно, что квадрат любого записанного числа больше произведения любых двух других записанных чисел. Какое наибольшее количество чисел может быть на доске?

Кажется, связано с темой инвариант

задан 18 Май '14 14:03

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $%a$% -- наименьшее по модулю из написанных чисел. Если $%b$%, $%c$% -- два каких-то других числа, то $%|a|\le|b|$%, $%|a|\le|c|$%. Перемножая, получаем $%a^2=|a|^2\le|bc|$%. Следовательно, $%bc < a^2\le|bc|$%. Число $%bc$% меньше своего модуля, поэтому оно отрицательно. Значит, одно из чисел положительно, а другое отрицательно. Это верно для любых двух чисел, отличных от $%a$%. Значит, таких чисел не больше двух, а всего чисел не больше трёх. Пример с тремя числами: $%0$%, $%1$%, $%-1$%.

ссылка

отвечен 18 Май '14 14:29

10|600 символов нужно символов осталось
0

Насчет инварианта - не знаю...

Легко показать, что не может быть записано более двух чисел одного знака. Покажем для положительных. Пусть есть хотя бы три положительных числа. Для этого достаточно выбрать самое маленькое положительное число и два числа того же знака. Ясно, что требуемое условие не выполнено. Аналогично для отрицательных.

5 чисел быть не может, т.к. если есть 0, то чисел максимум 3.

Остается рассмотреть, возможен ли случай, когда есть 4 числа $%a\leqslant b \leqslant c\leqslant d$%, причем $%a,b<0$%, $%c,d>0$%.

Тогда $%ab<c^2$%, $%cd<b^2$%, откуда $%|ad|<|bc|$%, что невозможно, т.к. $%|a|\geqslant |b|$% и $%d\geqslant c$%.

Ответ: 3 (например, -1,0,1).

ссылка

отвечен 18 Май '14 14:47

Спасибо!Этот случай я нашла,нужно было показать, что он единственный

(18 Май '14 14:53) Верик
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×204

задан
18 Май '14 14:03

показан
1125 раз

обновлен
18 Май '14 14:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru