Здравствуйте! У меня возник вопрос,ответ на который очень для меня важен для дальнейших расчетов. Существует ли критерий того что диофантово уравнение (6k+1)n-k=d при натуральных k>=1,n>=1,d>=1 имеет хотя бы одно решение? (d - известно)

Буду очень благодарен!

задан 18 Май '14 16:25

10|600 символов нужно символов осталось
0

Можно предложить следующий критерий. Уравнение $%(6k+1)n-k=d$% можно переписать в виде $%(6k+1)(6n-1)=6d-1$%, откуда следует, что $%6d-1$% составное. Последнее условие является достаточным, потому что если $%6d-1$% можно нетривиальным образом разложить на множители, то их остатки от деления на 6 могут принимать только значения 1 и 5. При этом ясно, что остаток у произведения равен 5, поэтому один из сомножителей даёт в остатке 1, и его записываем как $%6k+1$%, а второй даёт в остатке 5, и его представляем в виде $%6n-1$%.

Таким образом, всё сводится к проверке числа $%6d-1$% на простоту. Первые несколько значений, для которых $%6d-1$% составное, и уравнение имеет решение в натуральных числах, таковы: 6, 11, 13, 16, 20, 21, 24, 26, 27, 31, 34, 35, 36, 37, 41. Им соответствуют составные числа 35, 65, 77, 95, 119, 125, 143, 155, 161, 185, 203, 209, 215, 221, 245.

Заметим также, что по теореме Дирихле имеется бесконечно много простых чисел в арифметической прогрессии $%6d-1$%, то есть решений не будет для бесконечного множества значений $%d$%.

ссылка

отвечен 18 Май '14 17:27

спасибо огромное!!!

(18 Май '14 17:36) fowl
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×167

задан
18 Май '14 16:25

показан
556 раз

обновлен
18 Май '14 17:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru