|
Найдите все значения $%x,y>0$% такие, что хотя бы при одном значении $%z$% верны одновременно равенства $%\frac{(x^2+1)^2}{x^2}+\frac{(y^2+1)^2}{y^2} = \frac{50z}{4z+z^2}, x+y=1$%. задан 18 Май '14 16:31 
student |
|
Функция $%\frac{50z}{z^2+4z}=\frac{50}{4+z}$% принимает все значения кроме нуля и$%\frac{25}2$%, так как $%z$% нельзя брать равным нулю. Поскольку $%x$% и $%y$% положительны, следует рассмотреть лишь случай, когда величина в левой части принимает значение $%\frac{25}2$%: такие $%x$% и $%y$% не подойдут. Полагая $%u=x+\frac1x$% и $%v=y+\frac1y$%, замечаем, что в левой части уравнения находится выражение $%u^2+v^2\ge(u+v)^2/2$%. При этом $%u+v=x+y+\frac1x+\frac1y=1+\frac1{xy}\ge5$% за счёт того, что $%xy\le(\frac{x+y}2)^2=\frac14$%. Тем самым, $%u^2+v^2\ge\frac{25}2$%, и равенство возможно только при $%x=y=\frac12$%. Это единственная пара, которая не подходит, а все пары вида $%(x;1-x)$% при $%x\in(0;\frac12)\cup(\frac12;1)$% подходят. отвечен 18 Май '14 16:52 
falcao |