Найти числа $%x$% такие, что $%lg|cos(x-|x|)|, lg|cos3(x-|x|)|, lg|cos5(x-|x|)|$% являются последовательными членами арифметической прогрессии с ненулевой разностью.

Мои рассуждения: $%x<0$%, т.к. $%lg0$% не существует. Тогда $%2\lg|\cos2x|=lg|\cos6x\cos10x|$%. Тогда получается $%\cos^22x = \cos6x \cos 10x$%. Дальше не знаю, что делать.

задан 18 Май '14 19:01

$%x < 0$% по другой причине: там везде будет $%\lg1$%, то есть разность прогрессии окажется нулевой. Уравнение там не такое должно быть: удвоенный средний член равен сумме двух остальных. Потом надо удвоить обе части и применить известные формулы.

(18 Май '14 19:27) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Модули в правой части опустили. Попробуйте $%6x=8x-2x$% и $%10x=8x+2x$%. Тогда правая часть будет равна $%\cos^2 8x+\cos^2 2x-1$%.

Пусть $%t=x-|x|$%. Тогда будет выполнена пропорция $%|\frac{\cos 3t}{\cos t}|=|\frac{\cos 5t}{\cos 3t}|$% или $%\cos^23t=|\cos 5t\cdot\cos t|$%. $$\cos5t\cdot\cos t=\cos^23t+\cos^22t-1$$

Если выражение под модулем неотрицательно, то $%\cos^23t=\cos^23t+\cos^22t-1$%, откуда $%\cos 2t=\pm1$% и $%t=\pi k/2,k\in\mathbb{Z}$%. При этом видно, что первый и третий член прогрессии совпадают, поэтому разность нулевая.

Если $%\cos^23t+\cos^22t<1$%, то $%2\cos^23t+\cos^22t=1$%. Поскольку $%\cos 3t=\cos t(4\cos^2 t-3)$%, то, положив $%u=\cos^2 t$% получим $$2u(4u-3)^2+(2u-1)^2-1=0$$ решение которого $%u=0$%. Тогда $%\cos^23t+\cos^22t=1$% и нас не устраивает. Остальные два решения находятся из уравнения $$16u^2-22u+7=0$$ и равны $%(11\pm 3)/16$%. В обоих случаях выполнено $%\cos^23t+\cos^22t<1$%.

Из тогда для одного корня $%\cos t=\pm\sqrt{2}/2$% и $%t=\pi/4+\pi k/2,k\in\mathbb{Z},k<0$%, откуда находится $%x$%.

Для второго - $%\cos t=\pm\sqrt{14}/4$%, откуда тоже находится решение.

ссылка

отвечен 18 Май '14 19:58

изменен 18 Май '14 20:23

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×901
×249
×92

задан
18 Май '14 19:01

показан
541 раз

обновлен
18 Май '14 20:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru