Дан правильный треугольник $%ABC$% с центром $%O$%. Прямая, проходящая через вершину $%C$%, пересекает описанную окружность треугольника $%AOB$% в точках $%D$% и $%E$%. Докажите что точки $%A$% и $%E$% и середины отрезков $%BD$%, $%BE$% лежат на одной окружности.

задан 18 Май '14 19:29

изменен 19 Май '14 23:00

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь что-то не так с условием. В сформулированном виде это утверждение неверно. Во-первых, не сказано, в каком порядке идут точки $%D$% и $%E$%. Если порядок поменять, то середины отрезков $%BD$%, $%BE$% останутся на месте. И тогда, если считать, что в обоих случаях утверждение верно, то на одной окружности оказывается сразу пять точек, включая $%A$%, $%D$% и $%E$%, что явно не так.

Даже если наложить ограничения, то всё равно можно построить контрпример. Выберем точку $%D$% как диаметрально противоположную $%B$%. Точка $%E$% этим однозначно определяется. Середины отрезков $%BD$% и $%BE$% обозначим через $%D_1$% и $%B_1$%. Рассмотрим четырёхугольник $%AEE_1D_1$%. Заметим, что $%D_1$% -- середина диаметра, то есть это центр окружности. Угол $%D_1E_1E$%, очевидно, прямой. В то же время, противоположный ему угол $%D_1AE$% меньше 90 градусов, так как прямым будет угол $%D_1AC$% (радиус и касательная). Свойство вписанного четырёхугольника, тем самым, не выполнено.

Если порядок точек поменять, то есть считать $%BE$% диаметром, то утверждение останется неверным. Каждый из углов того же четырёхугольника при вершинах $%A$% и $%E_1$% больше 90 градусов.

ссылка

отвечен 21 Май '14 13:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,025

задан
18 Май '14 19:29

показан
1634 раза

обновлен
21 Май '14 13:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru