При каких $%a$% оба корня уравнения $%x^2-6ax+2-2a+9a^2=0$% больше 3?

Я пробовал накладывать систему условий $%D/4 > 0, x_{1} x_{2}>9, x_{1} + x_{2}>6$% (последние два решал по теореме Виета), но выходит $%a>1$% (ответ $%a>11/9$%). Видимо, я что-то опускаю, а находить корни явно и считать не хочется. Возможно, есть другие способы/условия?

задан 18 Май '14 20:22

В данном случае уравнение имеет вид $%(x-3a)^2=2a-2$%, откуда $%a\ge1$%, и корни легко выражаются. Нам нужен меньший, поэтому просто пишем $%3a-\sqrt{2a-2} > 3$%. Неравенство $%3(a-1) > \sqrt{2(a-1)}$% решается совсем просто.

(21 Май '14 11:32) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Первое неравенство системы другое. Требуется, чтобы $%x_i-3>0$%, откуда, перемножая оба неравенства получим $%x_1x_2-3(x_1+x_2)+9>0$%.

ссылка

отвечен 18 Май '14 20:29

изменен 18 Май '14 20:29

Спасибо, не знал о таком подходе. Условия $%x_{1} x_{2}>9, x_{1} + x_{2}>6$% оба нужны всё равно, верно?

(18 Май '14 20:39) student

Нет. Условие $%x_1x_2>9$% не требуется. Оно является следствием $%x_1x_2>3(x_1+x_2)-9$% и второго неравенства системы. Условие на определитель нужно.

(18 Май '14 20:43) cartesius
10|600 символов нужно символов осталось
2

Или так: система D>0, f(3)>0 и координата по иксу вершины параболы 6а/2>3. Теперь, если Вы нарисуете параболу согласно условий этой системы , то окажется, что оба корня больше трех.

ссылка

отвечен 18 Май '14 20:45

@student, Применяю часто и такой прием. Если заменить x=y+3, то квадратное уравнение должно иметь два корня, больше нуля. Получим уравнение

y^2+y(6-6a)+9a^2-20a+11=0.

И тогда по теореме Виета 6-6a<0; 9a^2-20a+11>0. Решаем эту симтему

(21 Май '14 8:55) nynko
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×534
×259

задан
18 Май '14 20:22

показан
3449 раз

обновлен
21 Май '14 11:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru