|
При каких $%a$% оба корня уравнения $%x^2-6ax+2-2a+9a^2=0$% больше 3? Я пробовал накладывать систему условий $%D/4 > 0, x_{1} x_{2}>9, x_{1} + x_{2}>6$% (последние два решал по теореме Виета), но выходит $%a>1$% (ответ $%a>11/9$%). Видимо, я что-то опускаю, а находить корни явно и считать не хочется. Возможно, есть другие способы/условия? задан 18 Май '14 20:22 
student |
|
Первое неравенство системы другое. Требуется, чтобы $%x_i-3>0$%, откуда, перемножая оба неравенства получим $%x_1x_2-3(x_1+x_2)+9>0$%. отвечен 18 Май '14 20:29 
cartesius Спасибо, не знал о таком подходе. Условия $%x_{1} x_{2}>9, x_{1} + x_{2}>6$% оба нужны всё равно, верно?
(18 Май '14 20:39)
student
Нет. Условие $%x_1x_2>9$% не требуется. Оно является следствием $%x_1x_2>3(x_1+x_2)-9$% и второго неравенства системы. Условие на определитель нужно.
(18 Май '14 20:43)
cartesius
|
|
Или так: система D>0, f(3)>0 и координата по иксу вершины параболы 6а/2>3. Теперь, если Вы нарисуете параболу согласно условий этой системы , то окажется, что оба корня больше трех. отвечен 18 Май '14 20:45 
epimkin |
В данном случае уравнение имеет вид $%(x-3a)^2=2a-2$%, откуда $%a\ge1$%, и корни легко выражаются. Нам нужен меньший, поэтому просто пишем $%3a-\sqrt{2a-2} > 3$%. Неравенство $%3(a-1) > \sqrt{2(a-1)}$% решается совсем просто.