Написать уравнение окружности с центром в начале координат, на которой лежат все точки $%(x;y)$%, удовлетворяющие системе $%\begin{cases} \frac{x^2+y^2}{x^3-y^3} =5/9, \\ x-y=3 \end{cases}$%

задан 18 Май '14 20:31

10|600 символов нужно символов осталось
2

$%x=r\cos t, y=r\sin t$%, тогда $$\frac{1}{3(1+1/2\sin (2t))}=5/9,$$ Откуда $%\sin 2t=-4/5$%, а $%r=3/(\cos t-\sin t)$%, а значит, $$r^2=9/(1-\sin(2t)).$$

$%r^2=5$%.

ссылка

отвечен 18 Май '14 20:58

изменен 19 Май '14 7:26

@cartesius: там в конце нет коэффициента 1/2 перед синусом. Квадрат радиуса равен 5.

(19 Май '14 0:23) falcao

@falcao, действительно, нет. Спасибо.

(19 Май '14 7:25) cartesius
10|600 символов нужно символов осталось
0

Тут вообще-то можно найти все решения системы -- это достаточно просто.

Из $%x-y=3$% следует, что $%x^3-y^3=3(x^2+y^2+xy)$%. Значит, $%\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+xy}=\frac53$%. Переходим к обратным дробям, вычитаем 1, после чего $%\frac{xy}{x^2+y^2}=-\frac25$%. Таким образом, $%x^2+y^2+\frac52xy=0$%. С другой стороны, $%x^2+y^2-2xy=9$%. Из этих равенств следует, что $%x^2+y^2=5$%, что уже даёт уравнение окружности с центром в нуле радиусом $%\sqrt5$%. Но можно продолжить: $%xy=-2$%, и тогда у чисел $%x$%, $%-y$% сумма равна $%3$%, а произведение равно $%2$%. По теореме Виета, это числа $%1$% и $%2$%. Оба решения $%(x,y)=(1;-2)$% и $%(x,y)=(2;-1)$% подходят при проверке.

ссылка

отвечен 19 Май '14 0:19

изменен 19 Май '14 8:48

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×931
×319

задан
18 Май '14 20:31

показан
758 раз

обновлен
19 Май '14 8:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru