Папа, мама и Коля два часа сидели за праздничным столом и вели беседу. Мама из каждой десятиминутки говорила с четвертой по восьмую минуты, папа на каждом восьмиминутном интервале говорил вторую и третью минуты, а Коля на каждом временном интервале в шесть минут говорил третью, четвертую и пятую минуты. Сколько минут за столом Коля говорил, а мама и папа молчали?

задан 18 Май '14 21:38

Здесь хотя и в обоих вариантах можно дать ответ, но желательно уточнить по поводу мамы: она говорит с 4-й по 8-ю минуту включительно, или с началом 8-й минуты прекращает говорить? Во втором варианте у меня, вроде бы, получилось 27 минут.

(19 Май '14 4:58) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Попробую изложить решение, не требующее полного перебора. Введём множества $%M$%, $%P$%, $%K$%, состоящие из значений тех минут (от 1 до 120), в течение которых мама, папа и Коля соответственно говорили. Сначала рассмотрим версию, в которой мама говорила с 4-й по 7-ю минуту включительно, то есть от начала 4-й до начала 8-й. Из условия ясно, что $%|M|=48$%, $%|P|=30$%, $%|K|=60$%. Найдём попарные пересечения. Будем основываться на следующем соображении. Каждая из пар чисел со значениями 10, 8, 6 имеет НОД равный двум. Тогда, если рассматривается минута с чётным номером, то она даёт чётные остатки при делении на каждое из этих чисел, а если с нечётным, то нечётные. Применяя китайскую теорему об остатках, учитываем то, что при делении на взаимно простые числа остатки могут принимать любые независимые значения. Тогда остатки 4, 5, 6, 7 от деления на 10 и остатки 2, 3 от деления на 8 (случай мамы и папы) могут "стыковаться" по принципу "чётное с чётным" и "нечётное с нечётным". Таких комбинаций имеется 4, и в промежутке из 40 последовательных чисел (40 есть НОК 10 и 8) в силу всё той же китайской теоремы об остатках, на каждую из таких комбинаций приходится ровно один вариант. Из этого следует, что $%|MP|=12$%.

Этим же методом находим другие попарные пересечения. Для случая мамы и Коли получаются остатки 4, 5, 6, 7 от деления на 10 и остатки 3, 4, 5 от деления на 6. Комбинаций чисел одинаковой чётности здесь 6 на промежуток длиной 30. Значит, на два часа приходится в 4 раза больше, и $%|MK|=24$%. Аналогично проверяется, что $%|PK|=15$%.

Теперь надо найти тройное пересечение. Ищем число комбинаций-троек. Все числа чётны в $%2\cdot1\cdot1=2$% вариантах, и нечётны в $%2\cdot1\cdot2=4$% вариантах. Итого $%|MPK|=6$% на 120 минут (НОК трёх чисел именно такое).

Нам надо найти время, в течение которого говорил один Коля. Из его 60 минут надо вычесть то время, в течение которого вместе с ним говорил ещё кто-то. Это $%|MK|+|PK|-|MPK|=33$%. Поэтому ответом будет $%27$%.

Для другой версии, когда мама говорила с 4-й по 8-ю минуту включительно, получаются такие данные: $%|MK|=28$%, $%|MPK|=7$%. Здесь ответом будет $%24$%.

ссылка

отвечен 19 Май '14 9:37

10|600 символов нужно символов осталось
1

Самое тупое решение - штриховать интервалы на числовой оси. В итоге получается 24.

ссылка

отвечен 19 Май '14 7:23

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×545

задан
18 Май '14 21:38

показан
614 раз

обновлен
19 Май '14 9:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru