Математический бильярд имеет форму параллелограмма $%ABCD$% . На сторонах $%AD$% и $%CD$% соответственно расположены точки $%E$% и $%F$% так, что $%AE:ED=1:4, DF:FC=3:5$%. Шар находится в точке пересечения прямых $%BF$% и $%CE$%. Известно, что шар, направленный в точку $%N$% борта $%BC$%, отразившись от четырех различных бортов, вернулся в точку $%M$% и, продолжив свое движение, повторил свою предыдущую траекторию. Найти $%BN:NC$%.

задан 18 Май '14 21:50

изменен 30 Май '14 18:36

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим траекторию движения, следуя правилу "угол падения равен углу отражения". Пусть эти углы равны $%\alpha_1$%, $%\alpha_2$%, $%\alpha_3$%, $%\alpha_4$% для случаев отражения от бортов $%BC$%, $%AB$%, $%AD$%, $%CD$% соответственно. Тогда выполняются равенства $%\alpha_1+\alpha_4=\alpha_2+\alpha_3$% и $%\alpha_1+\alpha_2=\alpha_3+\alpha_4$% из тех соображений, что противоположные углы параллелограмма равны. Из этих равенств вытекает, что $%\alpha_1=\alpha_3$% и $%\alpha_2=\alpha_4$%, из чего, в свою очередь, следует, что $%ABCD$% -- прямоугольник.

Введём аффинную систему координат, в которой $%A(0;0)$%, $%D(1;0)$%, $%B(0;1)$%, $%C(1;1)$% и выпишем уравнения прямых $%CE$% и $%BF$%. Поскольку $%E(\frac15;0)$% и $%F(1;\frac38)$%, прямые $%CE$% и $%BF$% задаются уравнениями $%y=\frac{5x-1}4$% и $%y=-\frac58x+1$% соответственно, а их точкой пересечения будет $%M(\frac23;\frac7{12})$%.

Теперь отразим прямоугольник $%ABCD$% зеркально сначала от стороны $%BC$%, затем от стороны, в которую перешла $%BC$% при этом отражении, и далее для двух оставшихся сторон по тому же принципу. Это стандартная процедура "выпрямления" бильярдной траектории, соответствующая равенству угла падения углу отражения. При таких "зеркальных" отражениях траектория становится отрезком $%MM'$%, где $%M'$% -- образ точки $%M$% после серии отражений. Её координаты легко вычислить: после четырёх отражений прямоугольник сохранил ориентацию, и сдвинулся на два размера влево и на два размера вверх. Таким образом, $%M'(\frac23-2;\frac7{12}+2)$%, и прямая $%MM'$% имеет угловой коэффициент $%-1$%. Её уравнением будет $%y=-x+\frac54$%, и прямую $%BC$%, заданную уравнением $%y=1$%, она пересекает в точке с абсциссой $%x=\frac14$%. Это значит, что точка $%N$%, в которую был направлен шар, делит отрезок $%BC$% в отношении $%1:3$%.

ссылка

отвечен 30 Май '14 19:38

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,163
×1,142
×803

задан
18 Май '14 21:50

показан
1165 раз

обновлен
30 Май '14 19:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru