Найти все значения параметра $%a$%, при каждом из которых неравенство $$4/3 (x^2-ax)-\pi / 3<\sin(x^2-ax)+\cos (2x^2-2ax+\pi/4)$$ выполняется для всех $%x$% из отрезка $%[\pi; 2\pi]$%

задан 18 Май '14 22:37

10|600 символов нужно символов осталось
1

Введём переменную $%z=x^2-ax-\frac{\pi}4$%. Неравенство примет следующий вид: $%\frac43z < \sin(z+\frac{\pi}4)+\cos(2z+\frac{3\pi}4)$%. Легко видеть, что при $%z=0$% имеет место равенство. Покажем, что неравенство справедливо тогда и только тогда, когда $%z < 0$%.

Правую часть можно представить в виде $%\sin(z+\frac{\pi}4)-\sin(2z+\frac{\pi}4)=-2\cos(\frac{3z}2+\frac{\pi}4)\sin\frac{z}2$%. Модуль этого числа не превосходит $%2|\sin\frac{z}2|\le|z|=z < \frac{4z}3$%. Значит, при $%z > 0$% знак неравенства противоположный.

Пусть $%z < 0$%. Для удобства положим $%t=-z > 0$%. Тогда нужно доказать, что $%\frac43t > -2\cos(\frac{\pi}4-\frac{3t}2)\sin\frac{t}2$%, что устанавливается аналогично.

Таким образом, задача сводится к проверке того, при каких $%a$% будет выполняться неравенство $%x^2-ax < \frac{\pi}4$% для всех $%x\in[\pi;2\pi]$%. Поскольку ветви параболы направлены вверх, наибольшее значение на отрезке достигается на его концах, поэтому достаточно рассмотреть всего два неравенства при $%x=\pi$% и $%x=2\pi$%. Первое даёт $%a > \pi-\frac14$%, а второе $%a > 2\pi-\frac18$%. Второе неравенство сильнее (первое из него следует), поэтому оно и будет ответом.

ссылка

отвечен 19 Май '14 11:14

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×534

задан
18 Май '14 22:37

показан
872 раза

обновлен
19 Май '14 11:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru