|
Петя взял несколько подряд идущих нат.чисел, посчитал их суммы цифр и перемножил эти суммы цифр. Могло ли у него получиться 700^2014,если чисел: а)не менее 3 б)не менее 2? задан 18 Май '14 23:11 
make78 |
|
Заметим, что $%700^{2014}$% имеет остаток 1 при делении на $%3$%. Среди трех последовательных чисел всегда найдется кратное трем, поэтому сумма его цифр делится на $%3$%, а значит, все произведение делится на $%3$%. То есть $%700^{2014}$% получиться не могло. Возьмем два соседние числа. Если одно из них кратно $%3$%, то и все произведение делится на $%3$% (см. приведенные выше рассуждения). Пусть тогда оба числа не кратны $%3$%. Тогда суммы их цифр имеют разные ненулевые остатки от деления на $%3$%. Обозначим эти суммы через $%3k+1$% и $%3l+2$%. Их произведение $%9kl+3(2k+l)+2$% имеет остаток $%2$% при делении на $%3$%. Поэтому $%700^{2014}$% снова не могло получиться. Ответ: нет, в обоих случаях. отвечен 19 Май '14 1:27 
cartesius |