линейная-алгебра - Умножение транспонированной матрицы

Матрицу B можно рассматривать как матрицу Грамма для базиса из столбцов матрицы A, поэтому линейное преобразование, определяемое матрицей, обратной к матрице A должно превращать матрицу B в единичную.

Рецепт такой

1) Преобразовать матрицу B в единичную, решив задачу на собственные значения и собственные векторы.

2) Обратить матрицу преобразования матрицы B в единичную. Это и будет искомая матрица A.

Пример.
Рассмотрим матрицу $$B= \begin{pmatrix} 5 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix} $$
ее собственные значения $%\lambda_1 =1, \lambda_2 =6$%, а собственные векторы, например, $%a_1 =(1, -2)^T,a_1 =(2, 1)^T$%.
Матрица $$S= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ -2 & 1 \end{pmatrix} $$
операцей $% S^TB \cdot S$% преобразует матрицу $%B $% в диагональную матрицу $$ С= \begin{pmatrix} 5 & 0\\ 0 & 30 \end{pmatrix} $$ Для преобразования матрицы C в единичную, ее нужно дополнительно "обработать" матрицей $$ S1= \begin{pmatrix} 1/ \sqrt 5 & 0\\ 0 & 1/ \sqrt 30 \end{pmatrix} $$ Матрица, обратная к произведению матриц $%S \cdot S1 $% и есть искомая матрица $% A=(S \cdot S1)^{-1}$%. Она имеет вид $$ A= \begin{pmatrix} 1/ \sqrt 5 & -2/ \sqrt 5 \\ 2\sqrt {6/5} & \sqrt {6/5} \end{pmatrix} $$

Непосредственной проверкой можно убедиться, что $%A^T \cdot A = B$%

Замечание. Если матрица $%B$% не является положительно определенной, то матрица $%A$% получится, вообще говоря, комплекснозначной.

Ответ на комментарий. $$ A^T \cdot A = \begin{pmatrix} 1/ \sqrt 5 & 2\sqrt {6/5} \\ -2/ \sqrt 5 & \sqrt {6/5} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1/ \sqrt 5 & -2/ \sqrt 5 \\ 2\sqrt {6/5} & \sqrt {6/5} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1/5+24/5 & -2/5+12/5 \\ -2/5+12/5 & 4/5+6/5 \end{pmatrix}=B $$