Известны две матрицы: матрица - А и A^T-транспонированная матрица. Умножение этих матриц дает матрицу - B. $$A \ast A^T=B$$ Задача. Возможно ли найти матрицу A и A^T, если изначально нам известна только матрица - B? задан 4 Апр '12 21:14 Зигзаг |
Матрицу B можно рассматривать как матрицу Грамма для базиса из столбцов матрицы A, поэтому линейное преобразование, определяемое матрицей, обратной к матрице A должно превращать матрицу B в единичную. Рецепт такой 1) Преобразовать матрицу B в единичную, решив задачу на собственные значения и собственные векторы. 2) Обратить матрицу преобразования матрицы B в единичную. Это и будет искомая матрица A. Пример. Непосредственной проверкой можно убедиться, что $%A^T \cdot A = B$% Замечание. Если матрица $%B$% не является положительно определенной, то матрица $%A$% получится, вообще говоря, комплекснозначной. Ответ на комментарий. $$ A^T \cdot A = \begin{pmatrix} 1/ \sqrt 5 & 2\sqrt {6/5} \\ -2/ \sqrt 5 & \sqrt {6/5} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1/ \sqrt 5 & -2/ \sqrt 5 \\ 2\sqrt {6/5} & \sqrt {6/5} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1/5+24/5 & -2/5+12/5 \\ -2/5+12/5 & 4/5+6/5 \end{pmatrix}=B $$ отвечен 5 Апр '12 1:39 Андрей Юрьевич Fedya, разложение Холецкого пригодилось, спасибо еще раз! :) Но преподаватель мне сказал, чтобы я нашел способ для любой матрицы - B. Андрей Юрьевич, спасибо большое за ответ! :) Очень хорошая идея!
(5 Апр '12 23:15)
Зигзаг
Андрей Юрьевич, после всех преобразований, у меня не получился нужный результат, то бишь - матрица А. Можно Вас попросить привести пример, хотя бы простенький. Спасибо.
(10 Апр '12 22:28)
Зигзаг
исправил ошибку в последней матрице
(11 Апр '12 23:43)
Андрей Юрьевич
Андрей Юрьевич, я сделал проверку по вашему примеру: A^T*A=B, но у меня исходная матрица B не получилась, но det получившейся матрицы сходится. И я сделал заново вычисления вашего примера, у меня собственные векторы получились: a1=(1,-2), a1=(1,2), т.е. первый как у вас, а второй отличается.
(26 Апр '12 19:50)
Зигзаг
|
Уважаемый Андрей Юрьевич. В примере допущена ошибка при вычислении собственных векторов. Должны быть значения:0.4472 -0.8944 и -0.8944. - 0.4472. Это дает матлаб. При проведении дальнейших вычислений решение задачи не прпрвело тртребуемомуезультату. Прошу сообщить верный алгоритм решения задачи "умножения транспонированной матрицы". С уважением, Павел. отвечен 3 Июн '15 14:18 павел 54 Любой вектор, коллинеарный собственному, тоже является собственным, поэтому собственных векторов - континуум. Я нашел одну пару, матлаб - другую, в принципе, можно найти еще много таких пар. Для решения можно взять любую пару, все должно получиться.
(3 Июн '15 15:03)
Андрей Юрьевич
Андрей Юрьевич спасибо за ответ. Пока Вы отвечали у меня уже все получилось и я понял, что матрица А не единственная, в этом и проблема для меня. Это ясно из того, что произведение матрицы на транспонмрованную представляет собой ковариационную функцию, не нормированную, и ясно, что множество сигналов разной размерности могут соответствовать одной и той же ковариационной функции. Вероятно от этого не уйти. МожетВы посоветуете как обеспечить единственность решения. С уважением Павел.
(3 Июн '15 18:36)
павел 54
Матрица А - единственная (а отличие от собственных векторов). Можете рассмотреть мой пример, взяв собственные вектора в общем виде (к -2к) и (2s s) с произвольными k и s. Результат будет тем же.
(4 Июн '15 0:39)
Андрей Юрьевич
@Андрей Юрьевич: каким образом матрица $%A$% может быть единственной? Допустим, что $%AA^T=B$%. Рассмотрим вместо $%A$% матрицу $%AQ$%, где $%Q$% ортогональна. Тогда $%AQ$% подходит в том же качестве: $%AQ(AQ)^T=AQQ^TA^T=AEA^T=B$%.
(4 Июн '15 1:03)
falcao
Извините, @falcao ошибся. Единственная с точностью до поворота, конечно.
(16 Июн '15 17:13)
Андрей Юрьевич
|
наверно можно. расписать поэлементно, и решить систему
Может быть как-нибудь пригодится разложение Холецкого? Оно определено для симметричных положительно определённых матриц. Если $%B$% положительно определена, то её можно симметризовать и найти разложение Холецкого, а из него, возможно, получится получить $%A, A^T$%
Дублирующий вопрос был удален. Fedya, спасибо, приму к сведению. Матрица B - произвольная, симметричная, невырожденная матрица(дисперсионная.)
For a huge class of examples, consider that in statistics positive definite matrices appear as covariance matrices. - написано в википедии. Если в Вашем случае действительно матрица будет положительно-определённой, то можно впрямую использовать разложение Холецкого.
@Зигзаг, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.