Известны две матрицы: матрица - А и A^T-транспонированная матрица. Умножение этих матриц дает матрицу - B.

$$A \ast A^T=B$$

Задача. Возможно ли найти матрицу A и A^T, если изначально нам известна только матрица - B?

задан 4 Апр '12 21:14

изменен 5 Апр '12 10:33

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

наверно можно. расписать поэлементно, и решить систему

(4 Апр '12 22:16) Hedgehog

Может быть как-нибудь пригодится разложение Холецкого? Оно определено для симметричных положительно определённых матриц. Если $%B$% положительно определена, то её можно симметризовать и найти разложение Холецкого, а из него, возможно, получится получить $%A, A^T$%

(4 Апр '12 23:34) Fedya

Дублирующий вопрос был удален. Fedya, спасибо, приму к сведению. Матрица B - произвольная, симметричная, невырожденная матрица(дисперсионная.)

(4 Апр '12 23:59) Зигзаг

For a huge class of examples, consider that in statistics positive definite matrices appear as covariance matrices. - написано в википедии. Если в Вашем случае действительно матрица будет положительно-определённой, то можно впрямую использовать разложение Холецкого.

(5 Апр '12 0:12) Fedya

@Зигзаг, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(27 Апр '12 1:43) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

Матрицу B можно рассматривать как матрицу Грамма для базиса из столбцов матрицы A, поэтому линейное преобразование, определяемое матрицей, обратной к матрице A должно превращать матрицу B в единичную.

Рецепт такой

1) Преобразовать матрицу B в единичную, решив задачу на собственные значения и собственные векторы.

2) Обратить матрицу преобразования матрицы B в единичную. Это и будет искомая матрица A.

Пример.
Рассмотрим матрицу $$B= \begin{pmatrix} 5 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix} $$
ее собственные значения $%\lambda_1 =1, \lambda_2 =6$%, а собственные векторы, например, $%a_1 =(1, -2)^T,a_1 =(2, 1)^T$%.
Матрица $$S= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ -2 & 1 \end{pmatrix} $$
операцей $% S^TB \cdot S$% преобразует матрицу $%B $% в диагональную матрицу $$ С= \begin{pmatrix} 5 & 0\\ 0 & 30 \end{pmatrix} $$ Для преобразования матрицы C в единичную, ее нужно дополнительно "обработать" матрицей $$ S1= \begin{pmatrix} 1/ \sqrt 5 & 0\\ 0 & 1/ \sqrt 30 \end{pmatrix} $$ Матрица, обратная к произведению матриц $%S \cdot S1 $% и есть искомая матрица $% A=(S \cdot S1)^{-1}$%. Она имеет вид $$ A= \begin{pmatrix} 1/ \sqrt 5 & -2/ \sqrt 5 \\ 2\sqrt {6/5} & \sqrt {6/5} \end{pmatrix} $$

Непосредственной проверкой можно убедиться, что $%A^T \cdot A = B$%

Замечание. Если матрица $%B$% не является положительно определенной, то матрица $%A$% получится, вообще говоря, комплекснозначной.

Ответ на комментарий. $$ A^T \cdot A = \begin{pmatrix} 1/ \sqrt 5 & 2\sqrt {6/5} \\ -2/ \sqrt 5 & \sqrt {6/5} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1/ \sqrt 5 & -2/ \sqrt 5 \\ 2\sqrt {6/5} & \sqrt {6/5} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1/5+24/5 & -2/5+12/5 \\ -2/5+12/5 & 4/5+6/5 \end{pmatrix}=B $$

ссылка

отвечен 5 Апр '12 1:39

изменен 27 Апр '12 1:35

Fedya, разложение Холецкого пригодилось, спасибо еще раз! :) Но преподаватель мне сказал, чтобы я нашел способ для любой матрицы - B. Андрей Юрьевич, спасибо большое за ответ! :) Очень хорошая идея!

(5 Апр '12 23:15) Зигзаг

Андрей Юрьевич, после всех преобразований, у меня не получился нужный результат, то бишь - матрица А. Можно Вас попросить привести пример, хотя бы простенький. Спасибо.

(10 Апр '12 22:28) Зигзаг

исправил ошибку в последней матрице

(11 Апр '12 23:43) Андрей Юрьевич

Андрей Юрьевич, я сделал проверку по вашему примеру: A^T*A=B, но у меня исходная матрица B не получилась, но det получившейся матрицы сходится. И я сделал заново вычисления вашего примера, у меня собственные векторы получились: a1=(1,-2), a1=(1,2), т.е. первый как у вас, а второй отличается.

(26 Апр '12 19:50) Зигзаг
10|600 символов нужно символов осталось
0

Спасибо, Андрей Юрьевич!

ссылка

отвечен 14 Апр '12 15:24

10|600 символов нужно символов осталось
0

Уважаемый Андрей Юрьевич. В примере допущена ошибка при вычислении собственных векторов. Должны быть значения:0.4472 -0.8944 и -0.8944. - 0.4472. Это дает матлаб. При проведении дальнейших вычислений решение задачи не прпрвело тртребуемомуезультату. Прошу сообщить верный алгоритм решения задачи "умножения транспонированной матрицы". С уважением, Павел.

ссылка

отвечен 3 Июн '15 14:18

Любой вектор, коллинеарный собственному, тоже является собственным, поэтому собственных векторов - континуум. Я нашел одну пару, матлаб - другую, в принципе, можно найти еще много таких пар. Для решения можно взять любую пару, все должно получиться.

(3 Июн '15 15:03) Андрей Юрьевич

Андрей Юрьевич спасибо за ответ. Пока Вы отвечали у меня уже все получилось и я понял, что матрица А не единственная, в этом и проблема для меня. Это ясно из того, что произведение матрицы на транспонмрованную представляет собой ковариационную функцию, не нормированную, и ясно, что множество сигналов разной размерности могут соответствовать одной и той же ковариационной функции. Вероятно от этого не уйти. МожетВы посоветуете как обеспечить единственность решения. С уважением Павел.

(3 Июн '15 18:36) павел 54

Матрица А - единственная (а отличие от собственных векторов). Можете рассмотреть мой пример, взяв собственные вектора в общем виде (к -2к) и (2s s) с произвольными k и s. Результат будет тем же.

(4 Июн '15 0:39) Андрей Юрьевич

@Андрей Юрьевич: каким образом матрица $%A$% может быть единственной? Допустим, что $%AA^T=B$%. Рассмотрим вместо $%A$% матрицу $%AQ$%, где $%Q$% ортогональна. Тогда $%AQ$% подходит в том же качестве: $%AQ(AQ)^T=AQQ^TA^T=AEA^T=B$%.

(4 Июн '15 1:03) falcao

Извините, @falcao ошибся. Единственная с точностью до поворота, конечно.

(16 Июн '15 17:13) Андрей Юрьевич
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×858
×279

задан
4 Апр '12 21:14

показан
7174 раза

обновлен
16 Июн '15 17:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru