Пусть $%X$% - топологическое пространство, $%Y \subset X$% - его подпространство.

Доказать, что $%\mathcal B(Y)=\{B \cap Y: B \in \mathcal B(X)\}, \mathcal B-$% борелевская $%\sigma$%-алгебра.

Моя попытка:

  1. Покажем, что $%B_Y=\{B \cap Y: B \in \mathcal B(X)\}$% является $%\sigma$%-алгеброй.

а) Т. к. $%Y = X \cap Y$% и $%X \in\mathcal B(X)$%, то $%Y \in\mathcal B_Y$%

б) Пусть теперь $%S \in \mathcal B_Y$%. Тогда $%\exists A\in\mathcal B(X): \, S = E \cap A$%.

Поэтому $%X\setminus A \in \mathcal B(X)$%. Отсюда $$Y \cap(X\setminus A) = (X \cap Y)\setminus A = Y\setminus A = Y\setminus S \in B_Y$$

в) Пусть $%\{S_n\}_{n=1}^\infty \subset B_Y.$% Для каждого $%n$% найдём $%A_n\in \mathcal B(X)$% такое, что $%S_n=Y\cap A_n$%.

Тогда $$\bigcup\limits_{n=1}^\infty S_n=\bigcup\limits_{n=1}^\infty Y \cap A_n = Y \cap \bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n \in B_Y$$

Таким образом, множество $%\mathcal B_Y$% является сигма-алгеброй. Как теперь показать,что она является борелевской?

задан 19 Май '14 17:47

10|600 символов нужно символов осталось
1

Все открытые в $%Y$% подмножества будут принадлежать $%{\cal B}_Y$% как пересечения с $%Y$% открытых подмножеств в $%X$%. Поэтому борелевская сигма-алгебра для $%Y$% будет содержаться в $%{\cal B}_Y$%. Для доказательства обратного утверждения надо применить трансфинитную индукцию. Известно, как получаются борелевские множества в результате трансфинитного процесса (Borel hierarchy); он описан, например, здесь. Каждому борелевскому множеству приписывается ординал, называемый его рангом. Теперь, если допустить, что борелевская сигма-алгебра для $%Y$% строго меньше $%{\cal B}_Y$%, выбираем множество $%B$% из $%{\cal B}_X$% наименьшего ранга, для которого $%B\cap Y$% не принадлежит борелевской сигма-алгебре подпространства $%Y$%. Очевидно, что ранг не равен нулю. Для предельного ординала также всё просто. Для непредельного ординала смотрим на то, при помощи каких операций получилось $%B$% и применяем к ним те рассуждения, которые Вы привели в тексте вопроса. Из них будет следовать (с использованием индукционного предположения), то $%B\cap Y$% должно принадлежать борелевской сигма-алгебре подпространства $%Y$%.

ссылка

отвечен 19 Май '14 18:59

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,551
×658
×342
×257

задан
19 Май '14 17:47

показан
935 раз

обновлен
19 Май '14 18:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru