$$\eqalign{ & {\text{Найти все значения, которые может принимать }}S{\text{ при условии что }}S{\text{ целое число, которое является}}{\text{}} \cr & {\text{суммой не менее трех последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии,}} \cr & {\text{состоящей из целых чисел.}} \cr} $$

задан 19 Май '14 23:03

изменен 20 Май '14 20:37

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Это все целые числа кроме $%\pm1$%.

Число 0 представимо как $%(-1)+0+1$%. Если $%S$% представимо, то и $%-S$% представимо (везде меняем знак). Значит, достаточно рассмотреть случай натуральных $%S$%. Число 2 представимо как $%(-1)+0+1+2$%. Если $%S=n\ge3$%, то $%S$% будет суммой членов прогрессии $%n+(n-2)+(n-4)+\cdots+(2-n)$%. Здесь первый член равен $%n$%, разность равна 2, количество членов равно $%n$%. Согласно формуле для суммы членов прогрессии, получается $%(n+(2-n))\cdot\frac{n}2=n$%.

Покажем, что суммы $%\pm1$% достичь нельзя (даже если разность постоянна). Согласно формуле, $%2S=n(a_1+a_n)$% должно делиться на $%n\ge2$%, но при $%S=\pm1$% это не так.

ссылка

отвечен 19 Май '14 23:34

10|600 символов нужно символов осталось
1

Прогрессия $%-k,\ldots,k,k+1$% позволяет получить $%S=k+1$% - любое натуральное число, большее 1. Аналогично получаются отрицательные значения. Сумма прогрессии $%-1,0,1$% нулевая. Покажем, что мы не можем получить только $%S=\pm1$%. Пусть $%a_1$% - первый член, $%d$% - разность, $%n$% - количество элементов прогрессии. Тогда $%(2a_1+d(n-1))n=2S$%. И если $%S=\pm 1$%, то $%|(2a_1+d(n-1))|n=2$%. Левая часть - целое число, большее двух или 0. Поэтому равенство невозможно.

ссылка

отвечен 19 Май '14 23:42

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,131
×916
×95

задан
19 Май '14 23:03

показан
4039 раз

обновлен
19 Май '14 23:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru