Еще один предел. Тоже не понимаю как решить:

$$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{m} - 1}{x^{n} - 1}; n, m \in \mathbb{N}$$

P.S. математику изучаю самостоятельно, так что обращаться кроме как сюда некуда.

Спасибо cartesius. Решение: $$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{m} - 1}{x^{n} - 1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)\times (1 + x + x^2 + \cdots + x^{m-1}) }{(x-1) \times (1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1})} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1 + x + x^2 + \cdots + x^{m-1} }{1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1}} = \frac{m}{n}$$

задан 20 Май '14 12:52

изменен 20 Май '14 20:35

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

Используйте разложение на множители: $$x^k-1=(x-1)(1+x+\ldots+x^{k-1}),$$ после чего сократите дробь.

ссылка

отвечен 20 Май '14 12:55

Т.е. $$a^n - b^n = (a-b) \times (\sum_{i=1}^{n}a^{n-i}*b^{i-1})$$

??

(20 Май '14 13:14) _Алексей

Да, общая формула для разности степеней такая.

(20 Май '14 13:21) cartesius

Тогда да: $$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{m} - 1}{x^{n} - 1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)\times (1 + x + x^2 + \cdots + x^{m-1}) }{(x-1) \times (1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1})} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1 + x + x^2 + \cdots + x^{m-1} }{1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1}} = \frac{m}{n}$$

Спасибо

(20 Май '14 13:46) _Алексей
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×769

задан
20 Май '14 12:52

показан
390 раз

обновлен
20 Май '14 13:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru