|
Еще один предел. Тоже не понимаю как решить: $$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{m} - 1}{x^{n} - 1}; n, m \in \mathbb{N}$$ P.S. математику изучаю самостоятельно, так что обращаться кроме как сюда некуда. Спасибо cartesius. Решение: $$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{m} - 1}{x^{n} - 1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)\times (1 + x + x^2 + \cdots + x^{m-1}) }{(x-1) \times (1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1})} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1 + x + x^2 + \cdots + x^{m-1} }{1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1}} = \frac{m}{n}$$ задан 20 Май '14 12:52 
_Алексей |
|
Используйте разложение на множители: $$x^k-1=(x-1)(1+x+\ldots+x^{k-1}),$$ после чего сократите дробь. отвечен 20 Май '14 12:55 
cartesius Т.е. $$a^n - b^n = (a-b) \times (\sum_{i=1}^{n}a^{n-i}*b^{i-1})$$ ??
(20 Май '14 13:14)
_Алексей
Да, общая формула для разности степеней такая.
(20 Май '14 13:21)
cartesius
Тогда да: $$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{m} - 1}{x^{n} - 1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)\times (1 + x + x^2 + \cdots + x^{m-1}) }{(x-1) \times (1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1})} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{1 + x + x^2 + \cdots + x^{m-1} }{1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1}} = \frac{m}{n}$$ Спасибо
(20 Май '14 13:46)
_Алексей
|