Построить поле порядка GF(2^3) используя неприводимый над полем GF(2) полином $$p(x) = x^3+x^2+1$$ Записать элементы поля GF(2^3) через степенное, векторное и многочленное представление.

задан 22 Май '14 2:03

10|600 символов нужно символов осталось
1

Найдём все степени элемента $%x$%, начиная с третьей, пользуясь формулой $%x^3=1+x^2$%. Далее последуют $%x^4=x+x^3=1+x+x^2$%, $%x^5=x+x^2+x^3=1+x$%, $%x^6=x+x^2$%, $%x^7=x^2+x^3=1$%. Элемент имеет порядок $%7$%, поэтому порождает мультипликативную группу поля. Оно состоит из нуля и всех степеней элемента $%x$%, то есть $%GF(2^3)=\{0,1,x,x^2,x^3,x^4,x^5,x^6\}$%.

Элементами поля можно также считать все многочлены вида $%a_0+a_1x+a_2x^2$%, где коэффициенты принимают значения $%0$% или $%1$%. Сложение многочленов обычное, по модулю $%2$%. Умножение также производится по обычным алгебраическим правилам, но при этом надо заменить $%x^3$% на $%1+x^2$% и $%x^4$% на $%1+x+x^2$%, приводя подобные члены.

Вместо многочленов можно рассматривать трёхмерные векторы вида $%(a_0;a_1;a_2)$% над полем из двух элементов. Складываются они покоординатно по модулю $%2$%, а умножение достаточно задать на базисных элементах $%e_1=(1;0;0)$%, $%e_2=(0;1;0)$%, $%e_3=(0;0;1)$%, продолжая его по линейности. Здесь $%e_1$% действует как единица, а остальные правила таковы: $%e_2\cdot e_2=e_3$%; $%e_2\cdot e_3=e_1+e_3$%; $%e_3\cdot e_3=e_1+e_2+e_3$%.

ссылка

отвечен 22 Май '14 2:24

Спасибо большое за ответ! @falcao, я только знакомлюсь с теорией кодирования и мне немного непонятен ваш ответ. Здесь необходимо еще выполнить сложение и умножение? Или это окончательный ответ ? Спасибо.

(22 Май '14 23:27) DonaldDrug

@DonaldDrug: поскольку речь идёт о поле, мы при его описании задаём не только элементы, но и операции над этими элементами (сложение и умножение). Для всех указанных Вами способов описания это было сделано. Это означает, что по указанным правилам легко осуществить каждую из двух операций над любыми заданными элементами. При желании, можно было бы нарисовать две таблицы размером 8x8, но мне это кажется излишним. Описание содержит всю необходимую информацию, чтобы мгновенно сложить любые два элемента (как многочлены), или перемножить их (как степени $%x$%).

(23 Май '14 3:10) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×49

задан
22 Май '14 2:03

показан
2895 раз

обновлен
23 Май '14 3:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru