геометрия - Докажите что всякая трапеция, описанная в окружность, равнобедренная

Замечание: трапеция здесь должна быть вписанной в окружность (соответственно, окружность будет описанной около трапеции).

Рассуждение такое. Пусть $%ABCD$% -- трапеция с основаниями $%AB$% и $%CD$%. Через центр описанной окружности проведём прямую $%\ell$%, перпендикулярную $%AB$%. Поскольку $%AB$% параллельна $%CD$%, проведённая прямая будет также перпендикулярна $%CD$%.

Рассмотрим осевую симметрию относительно оси $%\ell$%. Окружность при этом отобразится на себя, так как прямая проходит через её центр. Прямая $%AB$%, перпендикулярная оси, также отобразится на себя. Значит, её точки пересечения с окружностью перейдут друг в друга. Это значит, что $%A$% перейдёт в $%B$%, и $%B$% перейдёт в $%A$% (остаться на месте ни одна из этих точек не может, так как не лежит на оси симметрии). Аналогично, $%C$% и $%D$% также перейдут друг в друга.

Из сказанного следует, что отрезок $%BC$% при осевой симметрии перейдёт в отрезок $%AD$%. Будучи перемещением (движением) плоскости, симметрия сохраняет все расстояния между точками. Таким образом, $%BC=AD$% (длины боковых сторон), и трапеция является равнобочной (равнобедренной).