Рассмотрим $%\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dy$%. Можно ли численно найти значение такого интеграла, как функции от $%x$%? Подынтегральная функция "плохая".

задан 5 Апр '12 15:54

10|600 символов нужно символов осталось
2

Достаточно универсальный способ - выбор подходящего базиса в пространстве L2 и разложение функции $%f(x,y)$% по нему, т.е. представление $%f(x,y)=\sum g_k(x)\cdot e_k(y) $%, где {$% e_k(y)$%} - выбранный базис, а {$% g_k(x)$%} - коэффициенты разложения по этому базису. На бесконечном интервале один из стандартных базисов - функции Эрмита (полиномы Эрмита с весом).

В данном случае можно выбрать какой-нибудь более простой, не обязательно ортонормированный базис. Например, если $%f(x,y)$% достаточно гладкая по $%x$% функция можно разложить ее в ряд Тейлора по степеням $%x-x_0$% в окрестности какой-либо точки $%x_0$%.

Если же подынтегральная функция имеет какие-либо особенности, то самое главное выделить и правильно обработать эти особенности. Все эти вопросы рассматриваются в Методах асимптотического интегрирования (часть курса Асимптотические методы).

Дополнение 1. С интегралом такого типа я в свое время имел дело, у меня все хорошо получилось после разложения $%\psi(x,y) $% по степеням $%y-y_0 $%. Но вообще все зависит от конкретного вида интеграла. Может быть, стоит его привести?

Общий рецепт - выделить особенности и "хвосты" - окрестности бесконечности - возможно получится несколько участков, на каждом из которых нужно использовать свое разложение. Как минимум таких участков будет 3 - окрестность $%y_0 $% и окрестности бесконечности. Если на бесконечности подынтегральная функция быстро убывает, а других особенностей, кроме $%y_0 $% нет, останется только 1 участок - окрестность $%y_0 $%.

Сейчас прочитал Ваш комментарий к ответу DocentI. $%ln(y)/y^2 $% - это медленное убывание, поэтому "хвосты" придется учитывать.

Дополнение 2. Fedya, если подынтегральная функция представляется в виде $% \varphi(y) \cdot \psi(x,y) $%, где $% \varphi(y) $%- острый пик в окрестности $%y_0 $%, а $%\psi(x,y) $% - регулярная в функция, то разложение $%\psi(x,y) $% в ряд Тейлора в окрестности $%y_0=y_0(x) $% - это как раз и есть обобщение замены функции $% \varphi(y) $% на $%\delta$%-функцию: если оставить только нулевой член ряда - это будет просто замена функции $% \varphi(y) $% на $%\delta(y-y_0(x))$%, каждый следующий член увеличивает точность аппроксимации, весь ряд дает точное разложение. Погрешность можно оценить по последнему оставленному члену ряда.

ссылка

отвечен 5 Апр '12 16:56

изменен 7 Апр '12 17:53

То есть предлагается найти коэффициенты Фурье и просто оборвать ряд? Я правильно понимаю, что для нахождения коэффициентов разложения $%g_k(x)$% по базису мне всё равно придётся считать интеграл $%\int f(x,y)e_k(y)dy$%? Или есть более простые способы их нахождения? (опять же, численные)

(5 Апр '12 17:11) Fedya

Похоже, я попытался ответить на Ваш вопрос еще до того, как Вы его задали. Извиняюсь, исправил переменную, я имел в виду именно разложение по x, т.к. по y бесконечные пределы интегрирования.

(5 Апр '12 17:17) Андрей Юрьевич

Подынтегральная функция негладкая, в частности, содержит штуки вида $%\frac{1}{const+sign (x+y)}$%. Все особенности, какие есть - устранимые. Насчёт асимптотических методов - проблема в том, что выражение, которое я хочу получить, должно хорошо описывать интеграл при любых значениях параметра $%x$%.

(5 Апр '12 17:21) Fedya

Возможно, улучшить ситуацию сможет следующее наблюдение: $%f(x,y)=\varphi(y) \psi(x,y)$%, где $%\varphi$% имеет резонансную структуру с центром в какой-то точке $%y_0$%. То есть это "недо-дельта-функция"-узкий высокий пик. Можно ли как-то написать погрешность замены $%\varphi$% на дельта-функцию?

(5 Апр '12 17:33) Fedya

Вы все время говорите "устранимые особенности". Что это значит? В м.а. устранимый разрыв - когда функция имеет предел в точке. Такие разрывы для интеграла вообще незаметны. Но sign дает не устранимый разрыв, а скачок. Тут лучше всего Фурье.

(6 Апр '12 15:43) DocentI

Да, всё верно, я имел ввиду скачки, снова не та терминология=) Если скачок в точке $%y_0$%, то я могу разбить всю ось (промежуток интегрирования) на две полуоси - слева и справа от $%y_0$%. На обеих полуосях тогда функция будет непрерывна, правда же ведь? Я думаю, проще всего будет понять, какую цену я должен заплатить за то, что заменю $%\varphi$% на дельта-функцию. Надо смотреть какую-нибудь книжку по асимптотическим методам.

(6 Апр '12 21:28) Fedya
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
0

Что значит "плохая"? Неберущийся интеграл? Он хотя бы сходится? Равномерно по x или нет?
И что значит "найти функцию численно" - составить таблицу значений?

Ту все зависит от поведения функции в бесконечности. Если интеграл сходится быстро, то "хвостами" можно пренебречь.

ссылка

отвечен 5 Апр '12 16:14

изменен 5 Апр '12 16:16

"плохая" - значит недифференцируемая в некоторых точках, более того, имеющая устранимые особые точки (это не очень существенно, так как можно разбить прямую на участки, где функция непрерывна). На бесконечности убывает как $%\frac{\log y}{y^2}$%. По $%x$% сходится равномерно. В элементарных функциях не выражается. "Найти функцию численно" - значит получить аналитическое выражение, зависящее от $%x$%, приближённо представляющее такой интеграл, зависящий от параметра.

(5 Апр '12 17:04) Fedya

Проблема не в "хвостах", а в сложном виде $%f(x,y)$%

(5 Апр '12 17:13) Fedya
1

Fedya, Вы не совсем правильно используете терминологию. Задача, которую вы сформулировали, называется "найти асимптотическое представление (или разложение)". А найти численно - это значит написать программу, которая для любого заданного значения $%x$% будет выдавать значение интеграла.

(6 Апр '12 15:28) Андрей Юрьевич

Хорошо, понял, спасибо.

(6 Апр '12 21:20) Fedya
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×64

задан
5 Апр '12 15:54

показан
1243 раза

обновлен
7 Апр '12 17:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru