Численное интегрирование с параметром

Достаточно универсальный способ - выбор подходящего базиса в пространстве L2 и разложение функции $%f(x,y)$% по нему, т.е. представление $%f(x,y)=\sum g_k(x)\cdot e_k(y) $%, где {$% e_k(y)$%} - выбранный базис, а {$% g_k(x)$%} - коэффициенты разложения по этому базису. На бесконечном интервале один из стандартных базисов - функции Эрмита (полиномы Эрмита с весом).

В данном случае можно выбрать какой-нибудь более простой, не обязательно ортонормированный базис. Например, если $%f(x,y)$% достаточно гладкая по $%x$% функция можно разложить ее в ряд Тейлора по степеням $%x-x_0$% в окрестности какой-либо точки $%x_0$%.

Если же подынтегральная функция имеет какие-либо особенности, то самое главное выделить и правильно обработать эти особенности. Все эти вопросы рассматриваются в Методах асимптотического интегрирования (часть курса Асимптотические методы).

Дополнение 1. С интегралом такого типа я в свое время имел дело, у меня все хорошо получилось после разложения $%\psi(x,y) $% по степеням $%y-y_0 $%. Но вообще все зависит от конкретного вида интеграла. Может быть, стоит его привести?

Общий рецепт - выделить особенности и "хвосты" - окрестности бесконечности - возможно получится несколько участков, на каждом из которых нужно использовать свое разложение. Как минимум таких участков будет 3 - окрестность $%y_0 $% и окрестности бесконечности. Если на бесконечности подынтегральная функция быстро убывает, а других особенностей, кроме $%y_0 $% нет, останется только 1 участок - окрестность $%y_0 $%.

Сейчас прочитал Ваш комментарий к ответу DocentI. $%ln(y)/y^2 $% - это медленное убывание, поэтому "хвосты" придется учитывать.

Дополнение 2. Fedya, если подынтегральная функция представляется в виде $% \varphi(y) \cdot \psi(x,y) $%, где $% \varphi(y) $%- острый пик в окрестности $%y_0 $%, а $%\psi(x,y) $% - регулярная в функция, то разложение $%\psi(x,y) $% в ряд Тейлора в окрестности $%y_0=y_0(x) $% - это как раз и есть обобщение замены функции $% \varphi(y) $% на $%\delta$%-функцию: если оставить только нулевой член ряда - это будет просто замена функции $% \varphi(y) $% на $%\delta(y-y_0(x))$%, каждый следующий член увеличивает точность аппроксимации, весь ряд дает точное разложение. Погрешность можно оценить по последнему оставленному члену ряда.