Рассмотрим $%\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dy$%. Можно ли численно найти значение такого интеграла, как функции от $%x$%? Подынтегральная функция "плохая". задан 5 Апр '12 15:54 Fedya |
Достаточно универсальный способ - выбор подходящего базиса в пространстве L2 и разложение функции $%f(x,y)$% по нему, т.е. представление $%f(x,y)=\sum g_k(x)\cdot e_k(y) $%, где {$% e_k(y)$%} - выбранный базис, а {$% g_k(x)$%} - коэффициенты разложения по этому базису. На бесконечном интервале один из стандартных базисов - функции Эрмита (полиномы Эрмита с весом). В данном случае можно выбрать какой-нибудь более простой, не обязательно ортонормированный базис. Например, если $%f(x,y)$% достаточно гладкая по $%x$% функция можно разложить ее в ряд Тейлора по степеням $%x-x_0$% в окрестности какой-либо точки $%x_0$%. Если же подынтегральная функция имеет какие-либо особенности, то самое главное выделить и правильно обработать эти особенности. Все эти вопросы рассматриваются в Методах асимптотического интегрирования (часть курса Асимптотические методы). Дополнение 1. С интегралом такого типа я в свое время имел дело, у меня все хорошо получилось после разложения $%\psi(x,y) $% по степеням $%y-y_0 $%. Но вообще все зависит от конкретного вида интеграла. Может быть, стоит его привести? Общий рецепт - выделить особенности и "хвосты" - окрестности бесконечности - возможно получится несколько участков, на каждом из которых нужно использовать свое разложение. Как минимум таких участков будет 3 - окрестность $%y_0 $% и окрестности бесконечности. Если на бесконечности подынтегральная функция быстро убывает, а других особенностей, кроме $%y_0 $% нет, останется только 1 участок - окрестность $%y_0 $%. Сейчас прочитал Ваш комментарий к ответу DocentI. $%ln(y)/y^2 $% - это медленное убывание, поэтому "хвосты" придется учитывать. Дополнение 2. Fedya, если подынтегральная функция представляется в виде $% \varphi(y) \cdot \psi(x,y) $%, где $% \varphi(y) $%- острый пик в окрестности $%y_0 $%, а $%\psi(x,y) $% - регулярная в функция, то разложение $%\psi(x,y) $% в ряд Тейлора в окрестности $%y_0=y_0(x) $% - это как раз и есть обобщение замены функции $% \varphi(y) $% на $%\delta$%-функцию: если оставить только нулевой член ряда - это будет просто замена функции $% \varphi(y) $% на $%\delta(y-y_0(x))$%, каждый следующий член увеличивает точность аппроксимации, весь ряд дает точное разложение. Погрешность можно оценить по последнему оставленному члену ряда. отвечен 5 Апр '12 16:56 Андрей Юрьевич То есть предлагается найти коэффициенты Фурье и просто оборвать ряд? Я правильно понимаю, что для нахождения коэффициентов разложения $%g_k(x)$% по базису мне всё равно придётся считать интеграл $%\int f(x,y)e_k(y)dy$%? Или есть более простые способы их нахождения? (опять же, численные)
(5 Апр '12 17:11)
Fedya
Похоже, я попытался ответить на Ваш вопрос еще до того, как Вы его задали. Извиняюсь, исправил переменную, я имел в виду именно разложение по x, т.к. по y бесконечные пределы интегрирования.
(5 Апр '12 17:17)
Андрей Юрьевич
Подынтегральная функция негладкая, в частности, содержит штуки вида $%\frac{1}{const+sign (x+y)}$%. Все особенности, какие есть - устранимые. Насчёт асимптотических методов - проблема в том, что выражение, которое я хочу получить, должно хорошо описывать интеграл при любых значениях параметра $%x$%.
(5 Апр '12 17:21)
Fedya
Возможно, улучшить ситуацию сможет следующее наблюдение: $%f(x,y)=\varphi(y) \psi(x,y)$%, где $%\varphi$% имеет резонансную структуру с центром в какой-то точке $%y_0$%. То есть это "недо-дельта-функция"-узкий высокий пик. Можно ли как-то написать погрешность замены $%\varphi$% на дельта-функцию?
(5 Апр '12 17:33)
Fedya
Вы все время говорите "устранимые особенности". Что это значит? В м.а. устранимый разрыв - когда функция имеет предел в точке. Такие разрывы для интеграла вообще незаметны. Но sign дает не устранимый разрыв, а скачок. Тут лучше всего Фурье.
(6 Апр '12 15:43)
DocentI
Да, всё верно, я имел ввиду скачки, снова не та терминология=) Если скачок в точке $%y_0$%, то я могу разбить всю ось (промежуток интегрирования) на две полуоси - слева и справа от $%y_0$%. На обеих полуосях тогда функция будет непрерывна, правда же ведь? Я думаю, проще всего будет понять, какую цену я должен заплатить за то, что заменю $%\varphi$% на дельта-функцию. Надо смотреть какую-нибудь книжку по асимптотическим методам.
(6 Апр '12 21:28)
Fedya
показано 5 из 6
показать еще 1
|
Что значит "плохая"? Неберущийся интеграл? Он хотя бы сходится? Равномерно по x или нет? Ту все зависит от поведения функции в бесконечности. Если интеграл сходится быстро, то "хвостами" можно пренебречь. отвечен 5 Апр '12 16:14 DocentI "плохая" - значит недифференцируемая в некоторых точках, более того, имеющая устранимые особые точки (это не очень существенно, так как можно разбить прямую на участки, где функция непрерывна). На бесконечности убывает как $%\frac{\log y}{y^2}$%. По $%x$% сходится равномерно. В элементарных функциях не выражается. "Найти функцию численно" - значит получить аналитическое выражение, зависящее от $%x$%, приближённо представляющее такой интеграл, зависящий от параметра.
(5 Апр '12 17:04)
Fedya
Проблема не в "хвостах", а в сложном виде $%f(x,y)$%
(5 Апр '12 17:13)
Fedya
1
Fedya, Вы не совсем правильно используете терминологию. Задача, которую вы сформулировали, называется "найти асимптотическое представление (или разложение)". А найти численно - это значит написать программу, которая для любого заданного значения $%x$% будет выдавать значение интеграла.
(6 Апр '12 15:28)
Андрей Юрьевич
Хорошо, понял, спасибо.
(6 Апр '12 21:20)
Fedya
|