решить систему из двух уравнений в целых числах:
(x+1)(y+1)(z+1)=xyz+1;
(x+2)(y+2)(z+2)=xyz+2.

задан 22 Май '14 19:42

10|600 символов нужно символов осталось
1

Раскроем скобки. Первое уравнение превратится в $%(xy+xz+yz)+(x+y+z)=0$%, а второе (после деления на два) в $%(xy+xz+yz)+2(x+y+z)=-3$%. Отсюда следует, что $%x+y+z=-3$% и $%xy+xz+yz=3$%. Выражаем $%z=-x-y-3$% из первого уравнения, подставляем во второе. Получается $%(x+y)^2+3(x+y)-xy+3=0$%. Это уравнение можно рассматривать как квадратное относительно $%x$% с параметром $%y$%, а именно, $%x^2+x(y+3)+y^2+3y+3=0$%. Дискриминант равен $%D=(y+3)^2-4(y^2+3y+3)=-3(y^2+2y+1)=-3(y+1)^2$%. Чтобы корни имелись, должно быть $%y=-1$%. Тогда уравнение принимает вид $%x^2+2x+1=0$%, откуда $%x=-1$%. Из равенства для $%z$% получаем $%z=-1$% (то же следует из соображений симметрии).

Решение $%x=y=z=-1$% подходит при проверке. Оно единственно, даже если решать в действительных числах.

ссылка

отвечен 22 Май '14 20:05

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×319

задан
22 Май '14 19:42

показан
652 раза

обновлен
22 Май '14 20:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru