$$|sinx+cosx|=5-4[x]$$

задан 22 Май '14 22:59

изменен 23 Май '14 19:57

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
3

Положим $%[x] = k \in Z$% тогда $%\left| {\sin (x) + \cos (x)} \right| = \left| {\sqrt 2 \sin (\frac{\pi }{4} + x)} \right| = 5 - 4k$%. За счет оценки левой части приходим к выводу что $%0 \leqslant 5 - 4k \leqslant \sqrt 2 \Rightarrow \frac{{5 - \sqrt 2 }}{4} \leqslant k \leqslant \frac{5}{4} \Rightarrow k = 1$%. Далее учитываем свойства целой части и решаем систему: $%\begin{cases}\left| {\sqrt 2 \sin (\frac{\pi }{4} + x)} \right|=1\\1 \leqslant x < 2\end{cases}=>x = \frac{\pi }{2}$%

ссылка

отвечен 22 Май '14 23:20

изменен 22 Май '14 23:33

10|600 символов нужно символов осталось
3

$$0\leqslant (\sin x+\cos x)^2=1+\sin 2x\leqslant 2$$ Откуда $$0\leqslant 5-4[x]\leqslant \sqrt2$$ и $%[x]=1$%. Откуда $%1\leqslant x< 2$% и $$1+\sin 2x=1$$ То есть $%x=\pi k/2$% и ответ - $%x=\pi/2$%.

ссылка

отвечен 22 Май '14 23:27

@cartesius объясните, пожалуйста, как вы получили первую строчку?

(22 Май '14 23:32) Alena

@Alena, $$(\sin x+\cos x)^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1+2\sin x\cos x=1+\sin 2x$$ Но $$-1\leqslant \sin 2x\leqslant 1,$$ откуда $$0\leqslant 1+\sin 2x\leqslant 2.$$

(22 Май '14 23:36) cartesius
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×931

задан
22 Май '14 22:59

показан
1006 раз

обновлен
22 Май '14 23:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru