Есть 5-мерное евклидово пространство. В нем заданы 5 точек, скажем, A, B, C, D, E. Известны их координаты $$A_1,...,A_5$$ $$B_1,...,B_5$$ $$...$$ $$E_1, ... ,E_5$$

Как найти расстояние от точки A до плоскости BCD?

задан 23 Май '14 10:25

изменен 23 Май '14 19:55

Deleted's gravatar image


126

Для всех этих вещей в принципе имеются готовые формулы. Прежде всего, можно составить уравнение плоскости BCD по известным координатам трёх точек. Для этого берётся уравнение с неопределёнными коэффициентами вида ax+by+cz+d=0, в неё подставляются координаты трёх точек, получается система линейных уравнений. Решаем её, находя коэффициенты с точностью до постоянного множителя. Далее применяем формулу отсюда.

(23 Май '14 12:21) falcao

a, b, c заменятся на координаты точке B, C и D. А что делать с d?

(23 Май '14 22:27) ssh

Я как-то автоматически написал, подумав про векторы трёхмерного пространства. Сейчас изложу насчёт пятимерного в основной части.

(23 Май '14 23:29) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Точки плоскости $%BCD$% параметризуются следующим образом: $%x(b_1,...,b_5)+y(c_1,...,c_5)+(1-x-y)(d_1,...,d_5)$%, где $%x$%, $%y$% -- произвольные числа. Квадрат расстояния от точки $%(a_1,...,a_5)$% до точки плоскости, указанной выше, равен следующей сумме: $%F(x,y)=(xb_1+yc_1+(1-x-y)d_1-a_1)^2+\cdots+(xb_5+yc_5+(1-x-y)d_5-a_5)^2$%.

Далее надо найти частные производные по $%x$% и $%y$%, приравнивая их к нулю. Получится следующее: $$(b_1-d_1)(xb_1+yc_1+(1-x-y)d_1-a_1)+\cdots+(b_5-d_5)(xb_5+yc_5+(1-x-y)d_5-a_5)=0,$$ $$(c_1-d_1)(xb_1+yc_1+(1-x-y)d_1-a_1)+\cdots+(c_5-d_5)(xb_5+yc_5+(1-x-y)d_5-a_5)=0.$$ Это система из двух линейных уравнений. Её надо решить, находя значения $%x$% и $%y$%. После постановки в $%F(x,y)$% получим квадрат расстояния от точки до плоскости.

ссылка

отвечен 23 Май '14 23:40

Так сложно. А почему бы не исходить из того, что наша афинная плоскость задается так: $$\{B+a\vec{BC}+b\vec{BD}:a,b\in\mathbb{R}\}$$ ну, то есть плоскость в афинном пространстве. Или это не верно?

(23 Май '14 23:52) ssh

@ssh: а я как раз из этого и исхожу. У меня то же самое записано покоординатно с точностью до выбора обозначений. В численном виде это всё отнюдь не сложно, потому что тут только выражения длинные, а в виде чисел получится простая система из двух уравнений.

(24 Май '14 0:18) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,843
×1,409

задан
23 Май '14 10:25

показан
734 раза

обновлен
24 Май '14 0:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru