Задано число записанное натуральными числами от 1 до 2013 ( т.е. 123456789101112...2013)

Сказано, что каждую цифру числа умножают на 2 и складывают с последующей цифрой. Т.е. 1*2+3 = 5 2+2+4 = 8

1234...2012*2+2013

Такую операцию проводят несколько раз.

До тех пор пока не остается число состоящее из одной цифры.

Вопрос: Найдите это число.

Бьюсь второй день, но пока ничего путного не придумал? Если не решение, то может быть литературу по подобным задачам?

задан 23 Май '14 14:42

@Strannik, Уточните, пожалуйста задание.

Что происходит с полученными числами? Их тоже выписывают в последовательность?

Что делаем с последним числом? Ничего?

Почему $%1\cdot 2+3$%, а не $%1\cdot 2+2$% ? Что такое $%2+2+4$%?

Приведите пример, что должно получиться в результате, если числа от 1 до 4.

(23 Май '14 14:53) cartesius

Извините ошибся 12+2=4 22+3=5 3*2+4=10 и так до последнего числа. Фактически как я понял нужно только последнее число. Хотя я тоже не совсем понял принцип.

(23 Май '14 16:46) Strannik

Условие совершенно непонятно.

(23 Май '14 17:28) falcao
1

@Strannik, Напишите точную формулировку задачи, а не Вашу интерпретацию.

(23 Май '14 18:20) cartesius
2

@cartesius: кажется, я смог истолковать условие. Имелось в виду, что есть последовательность $%x_1,x_2,...,x_n$%, и к ней несколько раз применяется преобразование вида $%2x_1+x_2,2x_2+x_3,...,2x_{n-1}+x_n$%, пока не получится одноэлементная последовательность. Требуется определить, из какого числа она будет состоять, если в начале была последовательность чисел от 1 до 2013. В этом случае получается вполне разумный ответ.

(23 Май '14 21:04) falcao

@falcao, однако, это совсем нетривиальное истолкование. Возможно, Вы правы, попробую придумать свое истолкование и подумать над Вашим. Пока не было времени. Если действовать согласно моему первоначальному пониманию задачи, то ничего приличного не получалось (даже сведения к одной цифре на "маленьких" примерах).

(23 Май '14 21:56) cartesius

@cartesius: я крайне редко умею разгадывать такого рода "ребусы", потому что обычно бывает много правдоподобных толкований. Но в данном случае почему-то есть уверенность, что имелось в виду именно это. Достаточно поверить в то, что вместо "последовательность" здесь говорится "число", а вместо "число" -- "цифра" :)

(23 Май '14 22:06) falcao

@falcao, Пожалуй, что Вы правы.

(27 Май '14 22:10) cartesius
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1

Изложу решение задачи в том виде, как я его смог трактовать.

Имеется последовательность чисел $%x_1,x_2,\ldots,x_n$%. К ней применяется преобразование вида $%2x_1+x_2,2x_2+x_3,\ldots,2x_{n-1}+x_n$%, когда каждый член последовательности кроме самого последнего удваивается, и к нему прибавляется следующий. Далее применяется такое же преобразование к получившейся последовательности, и эта процедура проделывается несколько раз, пока не получится последовательность из одного члена. Требуется найти то число, которое получается из последовательности $%1,2,3,\ldots,2013$%.

Если имеется арифметическая прогрессия вида $%a,a+d,a+2d,\ldots$%, то из неё получается последовательность $%3a+d,3a+4d,\ldots$%, которая является арифметической прогрессией с разностью $%3d$% и первым членом $%3a+d$%. Изначально было $%a=d=1$%. Разность прогрессии каждый раз утраивается, и для последовательности после $%k$% шагов преобразования она равна $%3^k$%. Осталось понять закономерность образования первого члена. Если после $%k$% шагов он равен $%a_k$%, где $%a_0=1$%, то далее получается $%a_{k+1}=3a_k+3^k$%. При этом $%a_1=3\cdot1+3^0=4$%, $%a_2=3\cdot4+3^1=15$%, $%a_3=3\cdot15+3^2=54$% и так далее.

Анализируя то, как выглядят получающиеся при этом числа, можно сформулировать гипотезу, что $%a_n=(n+3)3^{n-1}$%. Далее она доказывается методом математической индукции. Для начальных значений гипотеза справедлива, и далее из предположения, что она верна при $%n=k$%, мы проверяем её справедливость для $%n=k+1$%. При этом получается $%a_{k+1}=3a_k+3^k=3(k+3)3^{k-1}+3^k=(k+4)3^k$%, что и требовалось. Таким образом, после $%2012$% шагов преобразования у нас получится последовательность, состоящая из одного числа $%2015\cdot3^{2011}$%.

При желании, можно было бы избежать доказательства, проводимого методом математической индукции. Если поделить $%a_k$% на $%3^{k-1}$%, то получится последовательность $%b_k=\frac{a_k}{3^{k-1}}$%, и она удовлетворяет рекуррентному соотношению $%b_{k+1}=b_k+1$%. Поскольку $%b_0=a_0/3^{-1}=3$%, и далее мы прибавляем по единице, получается $%b_n=n+3$% и $%a_n=(n+3)3^{n-1}$%.

ссылка

отвечен 28 Май '14 1:21

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×136

задан
23 Май '14 14:42

показан
790 раз

обновлен
28 Май '14 1:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru