|
В трапеции ABCD так что AB||CD на диагонали AC взята точка P и через нее проведена прямая MN параллельно прямой AB ,точка M лежит на прямой AD, точка N на BC, Где на прямой AC надо взять точку P, чтобы сумма площадей треугольников APM и CPN была наименьшей задан 23 Май '14 20:19 
parol |
|
Положим $%x=AP:AC$%. Тогда сумма площадей равна $%x^2S_{ACD}+(1-x)^2S_{ABC}$%. Эта величина пропорциональна $%x^2\cdot CD+(1-x)^2\cdot AB$%. Находя производную и приравнивая её к нулю, приходим к уравнению $%x\cdot CD-(1-x)\cdot AB=0$%. Она обращается в ноль при $%x:(1-x)=AB:CD$%, что соответствует точке пересечения диагоналей. Площадь при этом будет наименьшей (производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через данную точку). отвечен 23 Май '14 20:46 
falcao |