Сегодня мне задали вопрос, который я могу сформулировать следующим образом:

К нераспадающейся кривой второго порядка (эллипс, гипербола, парабола) проведены две касательные в точках $%A$% и $%B$%, причем эти касательные пересекаются. Прямая, проходящая через точку пересечения этих касательных и середину отрезка $%AB$%, пересекает кривую в некоторой точке. Верно ли, что касательная к кривой в этой точке параллельна прямой $%AB$%?

Используя некие общие соображения, я ответила на него утвердительно, однако я думаю, что эта задача должна иметь красивое элементарное решение. Возможно, кто-то его знает? А возможно, я и ошибаюсь.

задан 23 Май '14 21:47

изменен 23 Май '14 21:58

Проверила аналитически - вроде все верно... но некрасиво. Очень уж похоже на теорему Паскаля и, возможно, к ней сводится.

(23 Май '14 22:11) cartesius
10|600 символов нужно символов осталось
1

Мне кажется, проходит следующее доказательство общего характера, не требующее вычислений. Для окружности всё ясно, и этот случай переносится на произвольный эллипс при помощи свойств аффинных преобразований. Дальше рассуждаем так: рассматриваем параболу или гиперболу как коническое сечение, в котором секущая плоскость параллельна оси конуса или его образующей. Точки A и B фиксируем, а плоскость начинаем вращать. При этом дуги параболы и гиперболы станут предельными положениями дуг эллипсов. Касательные будут стремиться к касательным в том же смысле, как в анализе они рассматриваются в качестве предельного положения секущих. В данном случае всё зависит от одного параметра (угла между плоскостями), и сходимость кривых везде поточечная. Поскольку для дуг эллипсов касательные параллельны AB, то это же верно и для их предельных положений. Можно добавить, что при изменении кривой касательные к ним в точках A и B также меняются непрерывно, так как они получаются в качестве пересечения подвижной плоскости кривой с касательными плоскостями к конусу, проведёнными в фиксированных точках A, B.

ссылка

отвечен 24 Май '14 12:07

@falcao, в принципе мои "общие соображения" тоже были основаны на свойствах аффинных/проективных преобразований.

Просто мне кажется, что эта задача должна быть известной.

(26 Май '14 9:24) cartesius
1

Да, наверное. Но если говорить о доказательстве, то мне кажется, что использовать идею предельного перехода было бы довольно естественно. У меня первоначальное соображение было рассмотреть конус, а потом методами элементарной геометрии исследовать получающуюся стереометрическую задачу. Скорее всего, так тоже можно, но я до конца эти рассуждения не доводил.

(26 Май '14 9:43) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×863

задан
23 Май '14 21:47

показан
592 раза

обновлен
26 Май '14 9:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru