решить уравнение $$y''+y'tgx=sin2x , y(0)=-1, y'(0)=0;$$

задан 25 Май '14 10:46

10|600 символов нужно символов осталось
2

Полагая $%z=y'$%, приходим к уравнению первого порядка $%z'+z{\mathop{\rm\,tg\,}}x=\sin2x$% с начальным условием $%z(0)=0$%. Сначала решаем однородное уравнение $%z'+z{\mathop{\rm\,tg\,}}x=0$% с разделяющимися переменными, из которого $%z=C\cos x$%. Применяя метод вариации постоянной, ищем решение неоднородного уравнения в виде $%z=C(x)\cos x$%. Подставляя эту функцию в уравнение, имеем $%C'(x)\cos x=\sin2x$%, то есть $%C'(x)=2\sin x$%. Это значит, что $%C(x)=k-2\cos x$%, то есть $%z=(k-2\cos x)\cos x$%. Из начального условия находим $%k=2$%. Осталось решить уравнение $%y'=2(1-\cos x)\cos x$%, что делается при помощи интегрирования. В правой части находится функция $%2\cos x-(1+\cos2x)$%, у которой первообразная равна $%2\sin x-x-\frac12\sin2x+C$%, где $%C=-1$% ввиду $%y(0)=-1$%. Окончательно имеем решение $%y=-x+2\sin x-\frac12\sin2x-1$%.

ссылка

отвечен 25 Май '14 11:38

10|600 символов нужно символов осталось
2

Добавлю до кучи ещё один вариант...

$$\frac{y''\cos(x)+y'\sin(x)}{\cos(x)}=2\sin(x)\cos(x)$$ $$\left(\frac{y'}{\cos(x)}\right)'=2\sin(x)$$ $$y'=-2\cos^2(x)+C_1\cos(x)=-1-\cos(2x)+C_1\cos(x)$$ и ещё раз интегрируем...

ссылка

отвечен 27 Май '14 18:40

10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

Можно так

ссылка

отвечен 25 Май '14 17:10

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,118

задан
25 Май '14 10:46

показан
1018 раз

обновлен
27 Май '14 18:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru