Найдите все значения параметра $%a$%, при которых уравнение $$25x^5+25(a-1)x^3-4(a-7)x=0$$ имеет ровно пять различных решений, а сами решения, упорядоченные по возрастанию, образуют арифметическую прогрессию.

задан 25 Май '14 11:04

10|600 символов нужно символов осталось
1

Число $%x=0$% является корнем, поэтому корни должны иметь вид $%-2t$%, $%-t$%, $%0$%, $%t$%, $%2t$% для некоторого $%t > 0$%. Числа $%t$% и $%2t$% будут при этом корнями биквадратного уравнения $%25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)=0$%. Это значит, что квадратное уравнение $%25y^2+25(a-1)y-4(a-7)=0$% должно иметь два положительных корня, из которых один в 4 раза больше другого. Обозначим эти корни через $%z$% и $%4z$%. Тогда по теореме Виета $%5z=1-a > 0$% и $%z^2=(7-a)/25$%. В частности, $%(1-a)^2=(5z)^2=7-a$%, откуда $%a^2-a-6=0$%, то есть $%a$% равно $%3$% или $%-2$%. Первое из значений не подходит, а при втором получаются корни $%y=\frac35$% и $%y=\frac{12}5$%. Исходное уравнение будет иметь пять различных корней для $%t=\sqrt{\frac35}$%. Таким образом, $%a=-2$%.

ссылка

отвечен 25 Май '14 11:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×648
×534
×259

задан
25 Май '14 11:04

показан
1567 раз

обновлен
25 Май '14 11:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru