Решить уравнение в натуральных числах: $$19(x^2+y^2)=221+33xy$$

задан 25 Май '14 13:29

10|600 символов нужно символов осталось
1

Один из возможных способов: рассматриваем уравнение как квадратное относительно $%x$%: $%19x^2-33xy+19y^2-221=0$%. Находим дискриминант: $%D=16796-355y^2$%. Из неотрицательности $%D$% следует, что $%y\le6$%. Далее подставляем значения от 1 до 6 и смотрим, когда дискриминант будет полным квадратом. Подходят $%y=2$% и $%y=5$%; им соответствуют $%x=5$% и $%x=2$% (другие корни будут дробными). Получается два решения.

Добавление. Предыдущее решение мне не понравилось тем, что там требуется производить вычисления. Можно сделать всё проще. Уравнение равносильно $%19(x-y)^2+5xy=221$%. Ясно, что $%|x-y|\le3$%, так как $%19\cdot4^2 > 221$%. Легко заметить, что $%(x-y)^2+1$% делится на 5, поэтому $%|x-y|$% равен 2 или 3. В первом случае $%xy=29$%, и в натуральных числах решений нет. Во втором случае $%xy=10$%, и здесь очевидно, что перемножаются числа 2 и 5.

ссылка

отвечен 25 Май '14 14:12

изменен 25 Май '14 17:03

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×648
×204

задан
25 Май '14 13:29

показан
626 раз

обновлен
25 Май '14 17:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru